《2025年新课程学习指导七年级数学上册华师大版》

2. 将$-15$,$-12$,$-9$,$-6$,$-3$,$0$,$3$,$6$,$9$分别填入图 2-10 的 9 个小方格中,使横、竖、对角的三个数的和相等.

答案： （从上到下各行从左到右）：-12，9，-6；3，-3，-9；0，-15，6.

3. 观察下列各式的特征,探求规律：
$1+3= 4= 2^{2},$
$1+3+5= 9= 3^{2},$
$1+3+5+7= 16= 4^{2},$
…(1) 你从中发现了什么规律？试根据你所发现的规律结合图 2-11 计算：从 1 开始,8 个连续奇数的和是_________；从 1 开始,20 个连续奇数的和是_________.(2) 根据以上发现的规律,结合图 2-11 猜想1+3+5+7+9+11+…+(2n-1)(n为正整数)的结果是_________.(3) 根据(2)中结果,探求2+4+6+8+10+12+…+2n(n为正整数)的结果.

答案： （1）$8^2$，$20^2$.（2）$n^2$.（3）$n^2+n$.

4. 图 2-12 是由若干个小圆圈排列成的一个形如正三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了$n$层,共有圆圈多少个？

将图 2-12 倒置与自身拼成如图 2-13 的形状.

这样可计算出图 2-12 中圆圈个数为
$1+2+3+…+n= \frac{n(n+1)}{2}$.
以上是“倒序叠加法”的直观表达方式,用代数方式表达如下：
设$S= 1+2+…+(n-1)+n$.
$2S= 1+2+…+(n-1)+n$
$+n+(n-1)+…+2+1$,
上下对应相加,得$S= \frac{n(n+1)}{2}$.
(1) 自上而下在每个圆圈中按图 2-14 的方式填上一串连续的正整数$1$,$2$,$3$,$4$,…$$,那么第 10 层的左边圆圈中的数是____.

(2) 我们自上而下在每个圆圈中都按图 2-15 的方式填上一串连续的整数$-26$,$-25$,$-24$,…$$,如图 2-15 共填 10 层,求所有圆圈中各数的和,以及所有圆圈中各数的绝对值的和.

答案： 提示：（1）用公式求得前10层共有55个数，而第10层有10个数，所以左边圆圈中的数是46；或用公式求得前9层共有45个数，所以第10层左边圆圈中的数是46.（2）10层共有55个数，这55个数中有26个负数，有1个0，有28个正数，即-26，-25，…，-1，0，1，…，27，28.所以这些数的和是27+28=55；绝对值的和是27+28+2(1+2+3+…+26)=757.