《2025年新课程学习指导七年级数学上册华师大版》

5. 你能比较$1020^{1021}与1021^{1020}$的大小吗？
为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较$n^{n+1}与(n+1)^{n}$($n$是自然数)的大小. 然后考察当$n= 1$,$n= 2$,$n= 3$,…$$时的情况如何,通过比较从中发现的规律,经归纳、猜想得出结论.
(1) 通过计算,比较下列每组两个数的大小,并在横线上填上“$＞$”“$=$”或“$＜$”.
$1^{2}$____$2^{1}$；$2^{3}$____$3^{2}$；
$3^{4}$____$4^{3}$；$4^{5}$____$5^{4}$.
$5^{6}$____$6^{5}$；$6^{7}$____$7^{6}$.
(2) 经过对第(1)题中的结果进行归纳,可以猜测出：当$n\geqslant3$时,$n^{n+1}与(n+1)^{n}$的大小关系是____.
(3) 根据上面归纳、猜想得到的一般结论,比较$1020^{1021}与1021^{1020}$的大小关系是____.

答案： （1）＜，＜，＞，＞，＞，＞.（2）$n^{n+1}＞(n+1)^n$.（3）$1020^{1021}＞1021^{1020}$.

6. (1) 化简下列各题,探索解题方法：
$\left|\frac{1}{2}-1\right|=$____.
$\left|\frac{1}{2}-1\right|+\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|=$____.
$\left|\frac{1}{2}-1\right|+\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right|=$____.
(2) 利用探索的方法计算下列问题：
$\left|\frac{1}{2}-1\right|+\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right|+…+\left|\frac{1}{99}-\frac{1}{98}\right|+\left|\frac{1}{100}-\frac{1}{99}\right|$.
(3) 根据以上计算得到的规律猜想：
$\left|\frac{1}{2}-1\right|+\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right|+…+\left|\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n-2}\right|+\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right|=$____.

答案： （1）$1-\frac{1}{2}$，$1-\frac{1}{3}$，$1-\frac{1}{4}$.（2）$\frac{99}{100}$.（3）$\frac{n-1}{n}$.

7. (1) 在数轴上,表示$x的点P到表示1的点A和表示2的点B的距离和可表示为\vert x - 1\vert+\vert x - 2\vert$.
从数轴上看,当点$P在点A$,$B之间或与点A$,$B$重合时,$\vert x - 1\vert+\vert x - 2\vert$的值最小,最小值是____,$x的取值范围是1\leqslant x\leqslant2$.
(2) 运用类似的方法可得,当$\vert x - 1\vert+\vert x - 2\vert+\vert x - 3\vert$取得最小值____时,$x$的取值范围是____.
(3) 猜想：$\vert x - 1\vert+\vert x - 2\vert+\vert x - 3\vert+…+\vert x - 97\vert+\vert x - 98\vert+\vert x - 99\vert$的最小值是____,$x$的取值范围是____.

答案： （1）1.（2）2，x=2.（3）2450，x=50.