《2025年新课程学习指导七年级数学上册华师大版》

例 2 把下列各数分别填在相应的集合里：
① 负数集合；② 整数集合；③ 分数集合；④ 正整数集合；⑤ 负分数集合.
$ 8 $,$ - 12 $,$ - 0.5 $,$ 1 $,$ \dfrac{2}{5} $,$ 0 $,$ - 3\dfrac{1}{2} $,$ 0.102 $.

答案： 解：① 负数集合：$ \left\{ - 12,-0.5,-3\dfrac{1}{2},… \right\} $ ② 整数集合：$ \{ 8,-12,1,0,… \} $
③ 分数集合：$ \left\{ - 0.5,\dfrac{2}{5},-3\dfrac{1}{2},0.102,… \right\} $ ④ 正整数集合：$ \{ 8,1,… \} $
⑤ 负分数集合：$ \left\{ - 0.5,-3\dfrac{1}{2},… \right\} $

例 3 在数轴上画出与原点距离等于 $ 2.5 $ 的点,并写出它所表示的数.

答案：
分析：从数轴上看,到原点的距离等于 $ 2.5 $ 的点应该分别位于原点的两旁,并且与原点的距离均为 $ 2.5 $ 个单位长度,所以这两个点所表示的数为 $ - 2.5 $ 和 $ + 2.5 $,如图 1 - 3 所示.

评析：像这样把数在数轴上表示出来,既直观又形象,使数与形融为一体,这就是数形结合的思想方法,它是我们今后要学习的重要方法之一.

例 4 比较 $ a $ 与 $ - a $ 的大小.

答案： 解：当 $ a $ 是正数,即 $ a ＞ 0 $ 时,$ - a $ 是负数,所以 $ a ＞ - a $；
当 $ a = 0 $ 时,$ - a = 0 $,所以 $ a = - a $；当 $ a $ 是负数,即 $ a ＜ 0 $ 时,$ - a $ 是正数,所以 $ a ＜ - a $.
评析：像这样把问题分几种情况研究的方法称为分类讨论的思想方法. 利用这种方法可以把一个比较复杂的问题分解成若干个相对独立且形式单一的问题来解决. 不重复、不遗漏是对分类的基本要求.

例 5 把下列等式成立的条件填在括号内,并说明理由：
$| a | = \left\{ \begin{array} { l } { a ( \quad \quad \quad ), } \\ { 0 ( \quad \quad \quad ), } \\ { - a ( \quad \quad \quad ). } \end{array} \right.$

答案： 解：对于任何有理数 $ a $,总有 $ | a | \geqslant 0 $,于是
当 $ | a | = a $,且 $ a \neq 0 $ 时,由 $ | a | ＞ 0 $ 可得 $ a ＞ 0 $,所以 $ | a | = a $ 成立的条件是 $ a ＞ 0 $；
当 $ | a | = 0 $ 时,则必有 $ a = 0 $,所以 $ | a | = 0 $ 成立的条件是 $ a = 0 $；
当 $ | a | = - a $,且 $ a \neq 0 $ 时,由 $ | a | ＞ 0 $ 可得 $ - a ＞ 0 $,就是 $ a ＜ 0 $,所以 $ | a | = - a $ 成立的条件是 $ a ＜ 0 $.
评析：一般情况下,许多等式成立都是有条件的,像本题中的三个等式,若条件不满足,等式就不成立. 如,当 $ a ＜ 0 $ 时,等式 $ | a | = a $ 就不成立.