《2025年新课程学习指导七年级数学上册华师大版》

例 1 如图 5 - 1,$ \angle 1 $ 和 $ \angle 2 $,$ \angle 2 $ 和 $ \angle 3 $,$ \angle 1 $ 和 $ \angle 4 $ 分别是什么位置关系的角？并画出构成这种关系的基本图形。

答案：
解：$ \angle 1 $ 和 $ \angle 2 $ 是同旁内角,基本图形见图 5 - 2 ①,是由直线 $ AB $ 和 $ CD $ 被直线 $ AC $ 所截构成的；$ \angle 2 $ 和 $ \angle 3 $ 是内错角,基本图形见图 5 - 2 ②,是由直线 $ AC $ 和 $ DE $ 被直线 $ CD $ 所截构成的；$ \angle 1 $ 和 $ \angle 4 $ 是同位角,基本图形见图 5 - 2 ③,是由直线 $ AC $ 和 $ DE $ 被直线 $ AB $ 所截构成的。

评析：在研究几何问题时,往往需要从复杂图形中分离出基本图形或关系简图,这样就避免了图形之间的相互干扰,有利于厘清关系和寻求解决问题的途径。因此,平时我们要注意学习如何从复杂图形中分离或辨认出基本图形,逐步提高识图能力。

例 2 如图 5 - 3,已知 $ BD // CE $,$ \angle C = \angle D $,$ \angle A $ 与 $ \angle F $ 相等吗？
分析：从图形上看,$ \angle A $ 与 $ \angle F $ 是内错角,因此要知道 $ \angle A = \angle F $,只需知道 $ AC // DF $ 即可；要知道 $ AC // DF $,可考虑 $ \angle 1 = \angle D $；由于 $ BD // CE $,可得 $ \angle 1 = \angle C = \angle D $。

答案：
解：$ \because BD // CE $(已知),
$ \therefore \angle 1 = \angle C $(两直线平行,同位角相等)。
又 $ \because \angle C = \angle D $(已知), $ \therefore \angle 1 = \angle D $(等量代换)。
$ \therefore AC // DF $(内错角相等,两直线平行)。
$ \therefore \angle A = \angle F $(两直线平行,内错角相等)。

评析：① 本题分析中所用的方法是从结论开始一步一步向前找成立的条件,一直找到与题设条件相吻合,这种方法叫做“逆推法”,也叫做“分析法”；② 在分析与图形有关的问题时,关键是要弄清楚基本图形之间的关系。请你模仿本题的分析方法再找一种解法。

例 3 如图 5 - 4,将方格图中的图形向右平移 3 格,再向下平移 4 格,画出平移后的图形,再连结平移前后图形的对应点,说一说你发现了什么。
评析：在对图形进行平移的过程中,图形中各点之间的相对位置并没有发生变化,对每个点移动的方向和距离都是相同的,因此我们可以在图形中找到一些能够反映图形形状特征的关键点,然后把这些点按要求平移,再根据原图形把相应的点分别用线段(或曲线)连接,即可完成图形的平移。请你试一试,把本题中的图形按要求平移。

答案： 1. 将图形中的每个关键点向右平移3格，再向下平移4格，得到新的关键点位置。
原图形顶点坐标（假设左下角为原点(0,0)）：
左顶点：(2, 9)
顶点：(3, 11)
右顶点：(4, 9)
平移后顶点坐标：
左顶点：(5, 5)
顶点：(6, 7)
右顶点：(7, 5)
2. 在平移后的位置上画出新的三角形。
3. 连结平移前后图形的对应点，即：
连结(2, 9)与(5, 5)
连结(3, 11)与(6, 7)
连结(4, 9)与(7, 5)
4. 发现：连结平移前后图形的对应点的线段都相等且平行。