《2025年新课程学习指导七年级数学上册华师大版》

例2 在代数式$3nm+\frac{x^{2}}{2}-x - ab^{2}-a^{2}b - mn$中,哪些项是同类项?为什么?

答案：

答：$3nm和-mn$是同类项,因为这两项所含字母相同,且相同字母的指数也相同.

评析：判断两个项是不是同类项的关键是看这两项是否具备两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同.

例3 先化简,再求值：$(4x^{2}-3x)+(2 + 5x - x^{2})-(2x^{2}+x + 4)$,其中$|x| = 2$.

答案： 解：$(4x^{2}-3x)+(2 + 5x - x^{2})-(2x^{2}+x + 4)$
$= 4x^{2}-3x + 2 + 5x - x^{2}-2x^{2}-x - 4$
$= x^{2}+x - 2$.
由于$|x| = 2$,因此$x = 2或x = -2$.
当$x = 2$时,原式$= 2^{2}+2 - 2 = 4$；当$x = -2$时,原式$= (-2)^{2}+(-2)-2 = 0$.
评析：①运用绝对值的概念确定字母的取值时,要注意字母可能有两个值；②当代数式中字母的值改变时,代数式可能有不同的值.

例4 (1)在括号内填上适当的代数式,使等式成立：
( )$+(3ab + 6a^{2}-b^{2}) = 9a^{2}-2ab$.
分析：把所求的代数式以及$(3ab + 6a^{2}-b^{2})$,$9a^{2}-2ab$都看作一个数,本题就可以转化为“由和及一个加数求另一个加数”的问题.根据一个加数等于和减去另一个加数,得
$9a^{2}-2ab-(3ab + 6a^{2}-b^{2}) = 3a^{2}-5ab + b^{2}$,
在括号内应填代数式$3a^{2}-5ab + b^{2}$.
请你用类似的方法解答第(2)题.
(2)一个多项式加上$3x^{2}-4x + 5$,再减去$2x - 6x^{2}+3等于2x - 4$,求这个多项式.

答案： 设这个多项式为$A$。
根据题意可得：$A + (3x^{2}-4x + 5) - (2x - 6x^{2}+3) = 2x - 4$
则$A = 2x - 4 - (3x^{2}-4x + 5) + (2x - 6x^{2}+3)$
$\begin{aligned}A&=2x - 4 - 3x^{2} + 4x - 5 + 2x - 6x^{2} + 3\\&=(-3x^{2}-6x^{2}) + (2x + 4x + 2x) + (-4 - 5 + 3)\\&=-9x^{2} + 8x - 6\end{aligned}$
这个多项式为$-9x^{2} + 8x - 6$。

例5 某同学经过试验发现“三个连续整数的和是$3$的倍数”.请你举例试几次,看是否正确.若正确,想一想是否对所有的整数都适合,为什么?

答案： 解：例如,
$(-2)+(-1)+0 = -3 = 3×(-1)$,
$(-1)+0 + 1 = 0 = 3×0$,$2 + 3 + 4 = 9 = 3×3$,
对于给定的三个连续整数,它们的和都是$3$的倍数.
设三个连续整数分别为$a - 1$,$a$,$a + 1$($a$为整数),那么
$(a - 1)+a+(a + 1) = 3a$.
因为$a$为整数,所以$3a是3$的倍数.这说明“三个连续整数的和是$3$的倍数”对所有整数都适合.
评析：本题运用由特殊(具体数值)到一般(用字母表示数)的研究方法归纳出了整数的一条性质.用字母表示数是进行数学探究的常用方法,教科书中多处用到这种方法,希望你能理解并会用这种方法.本题的解答体现了用字母表示数的优越性：①具有广泛的代表性；②可以把未知转化为已知；③使解题过程化繁为简,直观易懂.

若$xy≠0$,想一想$x$,$y$取值有多少种可能的情况,试讨论$\frac{|x|}{x}+\frac{|y|}{y}+\frac{|xy|}{xy}$可能有哪些值.

答案： x，y取值有4种可能情况：
(1)x＞0，y＞0；
(2)x＞0，y＜0；
(3)x＜0，y＞0；
(4)x＜0，y＜0。
情况1：x＞0，y＞0时，$\frac{|x|}{x}=1$，$\frac{|y|}{y}=1$，$xy＞0$，$\frac{|xy|}{xy}=1$，原式=1+1+1=3。
情况2：x＞0，y＜0时，$\frac{|x|}{x}=1$，$\frac{|y|}{y}=-1$，$xy＜0$，$\frac{|xy|}{xy}=-1$，原式=1+(-1)+(-1)=-1。
情况3：x＜0，y＞0时，$\frac{|x|}{x}=-1$，$\frac{|y|}{y}=1$，$xy＜0$，$\frac{|xy|}{xy}=-1$，原式=-1+1+(-1)=-1。
情况4：x＜0，y＜0时，$\frac{|x|}{x}=-1$，$\frac{|y|}{y}=-1$，$xy＞0$，$\frac{|xy|}{xy}=1$，原式=-1+(-1)+1=-1。
综上，$\frac{|x|}{x}+\frac{|y|}{y}+\frac{|xy|}{xy}$可能的值为3或-1。