《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

10. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A(2,4) $ 在抛物线 $ y = ax^2 $ 上,过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线,交抛物线于另一点 $ B $,点 $ C $,$ D $ 在线段 $ AB $ 上,分别过点 $ C $,$ D $ 作 $ x $ 轴的垂线交抛物线于 $ E $,$ F $ 两点。当四边形 $ CDFE $ 为正方形时,线段 $ CD $ 的长为______.

答案： -2 + 2√5

11. 如图,抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,且点 $ B $ 的坐标为 $ (3,0) $,经过点 $ A $ 的直线交抛物线于点 $ D(2,3) $。
(1) 求抛物线的解析式和直线 $ AD $ 的解析式；
(2) 过 $ x $ 轴上的点 $ E(a,0) $ 作直线 $ EF // AD $,交抛物线于点 $ F $,是否存在实数 $ a $,使得以 $ A $,$ D $,$ E $,$ F $ 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,求出满足条件的 $ a $ 的值；如果不存在,请说明理由。

答案：

(1)把点B和点D的坐标代入抛物线y = -x² + bx + c得{-9 + 3b + c = 0, -4 + 2b + c = 3},解得b = 2,c = 3,
∴抛物线的解析式为y = -x² + 2x + 3.当y = 0时, -x² + 2x + 3 = 0,解得x = 3,或x = -1.
∵B(3,0),
∴A(-1,0).设直线AD的解析式为y = kx + m,把A和D的坐标代入得{-k + m = 0, 2k + m = 3},解得k = 1,m = 1,
∴直线AD的解析式为y = x + 1.
(2)分两种情况,如图所示.
①当a ＜ -1时,DF//AE且DF = AE,则点F为(0,3).

∵AE = -1 - a = 2,
∴a = -3;
②当a ＞ -1时,显然F应在x轴下方,EF//AD且EF = AD.设F(a - 3, -3),由-(a - 3)² + 2(a - 3) + 3 = -3,解得a = 4 ± √7.综上所述,满足条件的a的值为-3或4 ± √7.

12. 如图,抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于 $ C $ 点,$ OA = 2 $,$ OC = 6 $,连接 $ AC $ 和 $ BC $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点 $ E $ 是第四象限内抛物线上的动点,连接 $ CE $ 和 $ BE $。求 $ \triangle BCE $ 面积的最大值及此时点 $ E $ 的坐标；
(3) 若点 $ M $ 是 $ y $ 轴上的动点,在坐标平面内是否存在点 $ N $,使以点 $ A $,$ C $,$ M $,$ N $ 为顶点的四边形是菱形？若存在,请直接写出点 $ N $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)y = x² - x - 6.
(2)E(3/2, -21/4),最大值为27/8.
(3)N(-2, 2√10)或(-2, -2√10)或(2,0)或(-2, -10/3).