《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

8. 已知二次函数的图象经过 $ (1,0) $,$ (2,0) $ 和 $ (0,2) $ 三点,则该函数的解析式是( )

A.$ y = 2x^{2} + x + 2 $
B.$ y = x^{2} + 3x + 2 $
C.$ y = x^{2} - 2x + 3 $
D.$ y = x^{2} - 3x + 2 $

答案： D

9. 已知 $ A(0,3) $,$ B(2,3) $ 是抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 上两点,则该抛物线的顶点坐标是______.

答案： $(1,4)$

10. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的形状与 $ y = 2x^{2} - 4x - 1 $ 的形状相同,且当 $ x = 2 $ 时 $ y $ 有最大值是 $ -5 $,则此抛物线的解析式为______.

答案： $y=-2(x-2)^{2}-5$

11. 已知抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 经过点 $ A(3,0) $,$ B(1,0) $.
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 当 $ x $ 满足什么条件时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

答案：
(1)$y=-x^{2}+4x-3.$
(2)当$x＞2$时,y随x增大而减小.

12. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-2,0) $,$ B(6,0) $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $. 直线 $ l $ 与抛物线交于 $ A $,$ D $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ E $,点 $ D $ 的坐标为 $ (4,3) $.
(1) 求抛物线的解析式与直线 $ l $ 的解析式；
(2) 若点 $ P $ 是抛物线上的点且在直线 $ l $ 上方,连接 $ PA $,$ PD $,求当 $ \triangle PAD $ 面积最大时点 $ P $ 的坐标及面积的最大值；

答案：
(1)
∵抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与x轴交于$A(-2,0),B(6,0)$两点,
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+2)(x-6).\because D(4,3)$在抛物线上,$\therefore 3=a(4+2)×(4-6)$,解得$a=-\frac {1}{4},$
∴抛物线的解析式为$y=-\frac {1}{4}(x+2)(x-6)=-\frac {1}{4}x^{2}+x+3.\because $直线l经过$A(-2,0),D(4,3),$设直线l的解析式为$y=kx+m,$则$\left\{\begin{array}{l} -2k+m=0,\\ 4k+m=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=\frac {1}{2},\\ m=1,\end{array}\right. $
∴直线l的解析式为$y=\frac {1}{2}x+1.$
(2)如图,过点P作$PK// y$轴交AD于点K.设$P(m,-\frac {1}{4}m^{2}+m+3)$,则$K(m,\frac {1}{2}m+1).$$\because S_{\triangle PAD}=\frac {1}{2}\cdot (x_{D}-x_{A})\cdot PK=3PK$,
∴PK的值最大时,$\triangle PAD$的面积最大.$\because PK=-\frac {1}{4}m^{2}+m+3-\frac {1}{2}m-1=-\frac {1}{4}m^{2}+\frac {1}{2}m+2=-\frac {1}{4}(m-1)^{2}+\frac {9}{4},$$\because -\frac {1}{4}＜0,$
∴当$m=1$时,PK的值最大,最大值为$\frac {9}{4}$,此时$\triangle PAD$的面积的最大值为$\frac {27}{4},P(1,\frac {15}{4}).$

13. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ AB = 4 $,点 $ D $ 的坐标是 $ (0,8) $,以点 $ C $ 为顶点的抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过 $ x $ 轴上的点 $ A $,$ B $.
(1) 求点 $ A $,$ B $,$ C $ 的坐标；
(2) 若抛物线向上平移后恰好经过点 $ D $,求平移后抛物线的解析式.

答案：
(1)点$C(4,8),A(2,0),B(6,0).(2)y=-2x^{2}+16x+8.$