《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

12. 如图,已知抛物线$y= ax^{2}+bx+3与x轴交于点A$,$B$,过点$A的直线l与抛物线交于点C$,其中点$A(1,0)$,$C(4,3)$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点$D$,使$\triangle BCD$周长最小？若存在求出点$D$的坐标,若不存在请说明理由.

答案： $(1)y=x^2-4x+3. (2)$存在.D(2,1).

13. 已知抛物线$y= ax^{2}+bx-4(a\neq0)的对称轴是直线x= \frac{5}{2}$,且与$x轴交于A$,$B(4,0)$两点,与$y轴交于点C$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①,设点$D是线段BC$上一动点,过点$D作x$轴的垂线,交抛物线于点$E$,当线段$DE$的长度最大时,判断此时四边形$OCDE$的形状并说明理由；
(3)如图②,设点$P是抛物线上且位于直线BC$上方的点,求$\triangle BCP$面积的最大值.

答案：
(1)$\because$抛物线y=ax^2+bx-4的对称轴是x=$\dfrac{5}{2}$,$\therefore \dfrac{5}{2}=-\dfrac{b}{2a}$,$\therefore$b=-5a,$\therefore$y=ax^2-5ax-4.将点B(4,0)代入y=ax^2-5ax-4,$\therefore$16a-20a-4=0,解得a=-1,$\therefore$y=-x^2+5x-4.
(2)四边形OCDE是平行四边形.理由:令x=0,则y=-4,$\therefore$C(0,-4).令y=0,则-x^2+5x-4=0,解得x=4或x=1,$\therefore$A(1,0).设直线BC的解析式为y=kx+b,$\therefore \begin{cases}4k+b=0, \\b=-4,\end{cases}$$\therefore \begin{cases}k=1, \\b=-4,\end{cases}$$\therefore$y=x-4.设D(t,t-4),则E(t,-t^2+5t-4),$\therefore$DE=-t^2+5t-4-t+4=-t^2+4t=-(t-2)^2+4,$\therefore$当t=2时,DE的长度最大为4,$\therefore$D(2,-2),E(2,2).$\because$OC=DE=4,DE $//$ OC,$\therefore$四边形OCDE是平行四边形.
(3)过点P作PG $//$ y轴交BC于点G,设P(m,-m^2+5m-4),则G(m,m-4),$\therefore$PG=-m^2+5m-4-m+4=-m^2+4m,$\therefore$S_{\triangle BCP}=$\dfrac{1}{2}×4×(-m^2+4m)$=-2m^2+8m=-2(m-2)^2+8,$\therefore$当m=2时,S_{\triangle BCP}的值最大为8.