《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

11. 如图,直线 $ y = -x + 2 $ 过 $ x $ 轴上的点 $ A(2,0) $,且与抛物线 $ y = ax^{2} $ 交于 $ B $,$ C $ 两点,点 $ B $ 的坐标为 $ (1,1) $.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)连接 $ OC $,求 $ \triangle AOC $ 的面积.
(3)当 $ -x + 2 ＞ ax^{2} $ 时,请观察图象直接写出 $ x $ 的取值范围.

答案：
(1)
∵点$B(1,1)$在抛物线$y=ax^{2}$上,$\therefore 1=a,\therefore $抛物线的解析式为$y=x^{2}.$
(2)由题可知直线 AB 的解析式为$y=-x+2.$联立两函数解析式成方程组,$\left\{\begin{array}{l} y=x^{2},\\ y=-x+2,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=1\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=4,\end{array}\right. $
∴点 C 的坐标为$(-2,4),\therefore S_{\triangle AOC}=\frac {1}{2}×2×4=4.$
(3)由图象可知,当$-x+2＞ax^{2}$时,x的取值范围为$-2＜x＜1.$

12. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示,根据图象回答:
(1)写出方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根;
(2)写出不等式 $ ax^{2} + bx + c ＜ 0 $ 的解集;
(3)写出 $ y $ 随 $ x $ 增大而增大的自变量 $ x $ 的取值范围;
(4)若方程 $ ax^{2} + bx + c = m $ 没有实数根,求 $ m $ 的取值范围.

答案：
(1)$x_{1}=1,x_{2}=3.$
(2)$x＜1$或$x＞3.$
(3)$x＜2.$
(4)$m＞2.$

13. 抛物线 $ y = x^{2} + bx + 3 $ 的对称轴为直线 $ x = 1 $. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + bx + 3 - t = 0 $($ t $ 为实数)在 $ -1 ＜ x ＜ 4 $ 的范围内有实数根,则 $ t $ 的取值范围是( )

A.$ 2 \leq t ＜ 11 $
B.$ t \geq 2 $
C.$ 6 ＜ t ＜ 11 $
D.$ 2 \leq t ＜ 6 $

答案： A