《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

12. 已知正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于点 F,连接 DF,G 为 DF 中点,连接 EG,CG.

(1)求证：EG = CG,EG⊥CG；
(2)将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45°,如图②所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG. (1)中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由。

答案：
(1)证明略.
(2)成立,证明略.

13. 如图①,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,D 为 AB 中点,DE,DF 分别交 AC 于点 E,BC 于点 F,且 DE⊥DF.
(1)如果 CA = CB,求证：$AE^2 + BF^2 = EF^2；$
(2)如图②,若 CA ＜ CB,(1)中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由。

答案：
(1)证明略.
(2)成立.证明略.