《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

12. 如图,抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 过点 $ A(-1,0) $,点 $ B(3,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $. 在 $ x $ 轴上有一动点 $ E(m,0)(0 ＜ m ＜ 3) $,过点 $ E $ 作直线 $ l \perp x $ 轴,交抛物线于点 $ M $.
(1)求抛物线的解析式及点 $ C $ 的坐标；
(2)当 $ m = 1 $ 时,$ D $ 是直线 $ l $ 上的点且在第一象限内,若 $ \triangle ACD $ 是以 $ \angle DCA $ 为底角的等腰三角形,求点 $ D $ 的坐标.

答案：
(1)将点A,B的坐标代入抛物线解析式得$\begin{cases} -1-b+c=0, \\ -9+3b+c=0 \end{cases}$解得$\begin{cases} b=2, \\ c=3, \end{cases}$故抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3$.当$x=0$时,$y=3$,故点$C(0,3)$.
(2)当$m=1$时,点$E(1,0)$,设点D的坐标为$(1,a)$,由点A,C,D的坐标得$AC=\sqrt{(0+1)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{10}$,同理可得$AD=\sqrt{a^{2}+4}$,$CD=\sqrt{1+(a-3)^{2}}$.①当$CD=AD$时,即$\sqrt{a^{2}+4}=\sqrt{1+(a-3)^{2}}$,解得$a=1$;②当$AC=AD$时,同理可得$a=\pm \sqrt{6}$(舍去负值).故点D的坐标为$(1,1)$或$(1,\sqrt{6})$.