《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

7. 已知 $ a^2 + a - 1 = 0 $,$ b^2 + b - 1 = 0 $,且 $ a \neq b $,则 $ ab + a + b = ( ) $

A.2
B.-2
C.-1
D.0

答案： B

8. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + mx + m^2 - 3m + 3 = 0 $ 的两根互为倒数,则 $ m $ 的值为( )

A.1
B.2
C.1 或 2
D.0

答案： B

9. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 4x + m = 0 $ 有两实数根 $ x_1 $,$ x_2 $,且满足 $ 5x_1 + 2x_2 = 2 $,则 $ m^{-2} = $______。

答案： $\frac{1}{144}$

10. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (a^2 - 2a)x + a - 1 = 0 $ 的两个实数根互为相反数,则 $ a $ 的值为______。

答案： 0

11. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 3x + m - 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_1 $,$ x_2 $,若 $ 2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0 $,求 $ m $ 的值.

答案： m=-3.

12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 1 = 0 $ 有两个实数根 $ x_1 $,$ x_2 $.
(1) 求实数 $ k $ 的取值范围；
(2) 若 $ x_1 $,$ x_2 $ 满足 $ x_1^2 + x_2^2 = 16 + x_1x_2 $,求实数 $ k $ 的值.

答案：
(1)$k\leqslant \frac{5}{4}$.
(2)$k$的值为-2.

13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2k + 1)x + 4k - 3 = 0 $.
(1) 求证：无论 $ k $ 取什么实数,该方程总有两个不相等的实数根；
(2) 当 $ Rt \triangle ABC $ 的斜边长 $ a $ 为 $ \sqrt{31} $,且两条直角边的长 $ b $ 和 $ c $ 恰好是这个方程的两个根时,求 $ \triangle ABC $ 的周长.

答案：
(1)证明略.
(2)$\triangle ABC$的周长为$7+\sqrt{31}$.