《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

12. 如图,M 为⊙O 上一点,$OD ⊥ AM$于点 D,$OE ⊥ BM$于点 E. 若 $OD = OE$. 求证：$\overset{\frown}{AM}= \overset{\frown}{BM}$.

答案： 证明：
因为$OD\perp AM$，所以$AD = MD$（垂径定理，垂直于弦的直径平分弦）。
同理，因为$OE\perp BM$，所以$BE = ME$。
在$Rt\triangle AOD$和$Rt\triangle BOE$中，
$\left\{\begin{matrix}OA = OB,\\OD = OE.\end{matrix}\right.$
所以$Rt\triangle AOD\cong Rt\triangle BOE(HL)$。
则$\angle AOD=\angle BOE$，
那么$\angle AOM=\angle BOM$。
根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$。

13. 如图,MN 是⊙O 的直径,点 A 是半圆上的三等分点,点 B 是$\overset{\frown}{AN}$的中点,点 P 是直径 MN 上一动点. 若 $MN = 2\sqrt{2}$,$AB = 1$,则$\triangle PAB$周长的最小值是( )

A.$2\sqrt{2}+1$
B.$\sqrt{2}+1$
C.2
D.3

答案： D