《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

12. 如图,在平面直角坐标系中,$Rt\triangle AOB的两条直角边OA$,$OB分别在x$轴、$y$轴的负半轴上,且$OA = 2$,$OB = 1$.将$Rt\triangle AOB绕点O按顺时针方向旋转90^{\circ}$,再把所得的图象沿$x轴正方向平移1个单位长度得到\triangle CDO$.
(1) 写出$A$,$C$两点的坐标；
(2) 求点$A和点C$之间的距离.

答案：
(1)A(-2,0),C(1,2).
(2)$AC=\sqrt{13}$.

13. 已知正方形$ABCD的边长为4$,点$E是对角线BD$延长线上一点,$AE = BD$.将$\triangle ABE绕点A顺时针旋转角\alpha(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 360^{\circ})得到\triangle AB'E'$,点$B$,$E的对应点分别为B'$,$E'$.
(1) 如图①,当$\alpha = 30^{\circ}$时,求证：$B'C = DE$；
(2) 连接$B'E$,$DE'$,当$B'E = DE'$时,请用图②求$\alpha$的值；
(3) 如图③,点$P为AB$的中点,点$M为B'E'$上任意一点,试探究,在此旋转过程中$PM$长度的取值范围.

答案：
(1)证明略.
(2)$\alpha=45^{\circ}$.
(3)$2\sqrt{2}-2\leqslant PM\leqslant4\sqrt{2}+2$.