《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

7. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$F$ 是 $\overset{\frown}{CD}$ 上一点,且 $\overset{\frown}{DF} = \overset{\frown}{BC}$,连接 $CF$ 并延长交 $AD$ 的延长线于点 $E$,连接 $AC$。若 $\angle ABC = 105^{\circ}$,$\angle BAC = 25^{\circ}$,则 $\angle E = ( )$

A.$45^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： B

8. 如图,四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,$BE$ 是 $\odot O$ 的直径,连接 $AE$。若 $\angle BCD = 2\angle BAD$,连接 $OD$,则 $\angle DOE$ 的度数是______.

答案： 60°

9. 如图,四边形 $ABCD$ 是菱形,$\odot O$ 经过点 $A$,$C$,$D$ 与 $BC$ 交于点 $E$,连接 $AC$,$AE$。若 $\angle D = 78^{\circ}$,则 $\angle EAC$ 的度数为______.

答案： 27°

10. 如图,在 $\odot O$ 的内接五边形 $ABCDE$ 中,$\angle CAD = 55^{\circ}$,则 $\angle B + \angle E = $______.

答案： 235°

11. 如图,四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,$DB$ 平分 $\angle ADC$,连接 $OC$,$OC \perp BD$。
(1)求证：$AB = CD$。
(2)若 $\angle A = 66^{\circ}$,求 $\angle ADB$ 的度数。

答案：
(1)
∵DB平分∠ADC，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$.
∵OC⊥BD，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴AB=CD.
(2)
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD=180°-∠A=114°.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴BC=CD，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$×(180°-114°)=33°.
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC=33°.

12. 如图,$\odot C$ 经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点 $A$ 与点 $B$,点 $A$ 的坐标为 $(0, 4)$,$M$ 是圆上一点,$\angle BMO = 120^{\circ}$,求 $\odot C$ 的半径。

答案： ⊙C的半径为4.

13. 如图,已知在圆内接四边形 $ABDC$ 中,$\angle BAC = 60^{\circ}$,$AB = AC$。
(1)求 $\angle ADB$ 的度数；
(2)求证：$AD = BD + CD$。

答案：
(1)连接BC，
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，
∴∠ADB=60°.
(2)在AD上取点E，F，使DE=DB，DF=DC，连接BE，CF.
∵∠ADB=60°，∠ADC=∠ABC=60°，
∴△BDE和△CDF都是等边三角形，
∴∠DEB=∠DFC=60°，FC=CD，
∴∠AEB=∠CFA=120°，
∴∠FAC+∠FCA=∠DFC=60°.
∵∠FAC+∠EAB=∠BAC=60°，
∴∠EAB=∠FCA.
在△ABE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}∠EAB=∠FCA,\\∠AEB=∠CFA,\\AB=AC,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAF，
∴AE=CF，
∴AD=DE+AE=BD+FC=BD+CD.