《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

13. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,点 $ C $ 为 $ \odot O $ 上一点,点 $ F $ 是半径 $ AO $ 上一动点(不与点 $ O $,$ A $ 重合),过点 $ F $ 作射线 $ l \perp AB $,分别交弦 $ AC $,$ \overset{\frown}{AC} $ 于 $ H $,$ D $ 两点,在射线 $ l $ 上取点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ \odot O $ 的切线 $ EC $。
(1) 求证：$ EC = EH $；
(2) 当点 $ D $ 是 $ \overset{\frown}{AC} $ 的中点时,若 $ \angle ABC = 60^{\circ} $,判断以 $ O $,$ A $,$ D $,$ C $ 为顶点的四边形是什么特殊的四边形,并说明理由。

答案：

(1)连接OC,
知识巩固参考答案

∵CE是$\odot O$的切线,
∴∠OCE = 90°.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ACB = 90°,
∴∠ECH + ∠ACO = ∠OCB + ∠ACO = 90°,∠CAB + ∠B = 90°,
∴∠ECH = ∠OCB.
∵EF⊥AB,
∴∠AFH = 90°,
∴∠CAB + ∠AHF = 90°,
∴∠AHF = ∠CHE = ∠B.
∵OC = OB,
∴∠B = ∠OCB,
∴∠ECH = ∠EHC,
∴EC = EH.
(2)四边形AOCD是菱形.
理由:连接AD,CD,
∵点D是$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∴AD = CD.
∵∠ABC = 60°,
∴∠ADC = 120°,
∴∠DAC = ∠ACD = 30°.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ACB = 90°,
∴∠BAC = 30°,
∴∠ACD = ∠CAB,
∴CD//AO.
∵OA = OC,
∴∠OAC = ∠ACO = 30°,
∴∠CAD = ∠ACO,
∴AD//OC,
∴四边形AOCD是平行四边形.
∵AD = CD,
∴四边形AOCD是菱形.

1. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,若$\angle A = 45^{\circ}$,$\odot O的半径r = 4$,则阴影部分的面积为( )


A.$4\pi - 8$
B.$2\pi$
C.$4\pi$
D.$8\pi - 8$

答案： A

2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 2\sqrt{3}$,以点$B$为圆心、$BC$为半径作弧,交$AB于点D$。若点$D为AB$的中点,则阴影部分的面积是( )


A.$2\sqrt{3} - \frac{2}{3}\pi$
B.$4\sqrt{3} - \frac{2}{3}\pi$
C.$2\sqrt{3} - \frac{4}{3}\pi$
D.$\frac{2}{3}\pi$

答案： A

3. 如图,$AB是\odot O$的直径,弦$CD \perp AB$,$\angle CDB = 30^{\circ}$,$CD = 2\sqrt{3}$,则阴影部分的面积为( )


A.$2\pi$
B.$\pi$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{2\pi}{3}$

答案： D