《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

7. 如图,抛物线 $ y_1 = a(x + 2)^2 - 3 $ 与 $ y_2 = \frac{1}{2}(x - 3)^2 + 1 $ 交于点 $ A(1,3) $,过点 $ A $ 作 $ x $ 轴的平行线,分别交两条抛物线于点 $ B $,$ C $. 有以下结论：①无论 $ x $ 取何值,$ y_2 $ 的值总是正数；② $ a = \frac{2}{3} $；③当 $ x = 0 $ 时,$ y_2 - y_1 = 6 $；④ $ AB + AC = 10 $. 其中正确的结论是( )


A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③④

答案： A

8. 如图,把抛物线 $ y = x^2 $ 沿直线 $ y = x $ 平移 $ \sqrt{2} $ 个单位长度后,其顶点在直线上的 $ A $ 处,则平移后抛物线的解析式为( )


A.$ y = (x + 1)^2 - 1 $
B.$ y = (x + 1)^2 + 1 $
C.$ y = (x - 1)^2 + 1 $
D.$ y = (x - 1)^2 - 1 $

答案： C

9. 有下列关于二次函数 $ y = -(x - m)^2 + m^2 + 1 $($ m $ 为常数)的结论：①该函数的图象与函数 $ y = -x^2 $ 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 $ (0,1) $；③当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 $ y = x^2 + 1 $ 的图象上. 其中正确结论的序号是 ______.

答案： ①②④

10. 如图是某绿地的一个水池,在水池中央有一垂直于地面的喷水柱 $ OA $,喷水时,水流在各方向沿形状相同的抛物线落下. 已知水流喷出的高度 $ y(m) $ 与水平距离 $ x(m) $ 之间的函数关系式为 $ y = -(x - 1)^2 + 2.25 $.
(1)求喷出的水流离地面的最大高度；
(2)求喷嘴离地面的高度.
]

答案：
(1)2.25 m.
(2)1.25 m.