《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

1. 设等边三角形的边长为 $ x $,面积为 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式是( )

A.$ y = \frac{1}{2}x^{2} $
B.$ y = \frac{1}{4}x^{2} $
C.$ y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} $
D.$ y = \frac{\sqrt{3}}{4}x^{2} $

答案： D

2. 已知等腰三角形的两边长分别是 $ 2 $,$ 3 $,则第三边长是( )

A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $ 或 $ 3 $
D.以上都不对

答案： C

3. 已知一直角三角形斜边长为 $ \sqrt{5} $,一条直角边长为 $ 1 $,则另一边长是( )

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $ 或 $ 2 $
D.以上都不是

答案： B

4. 已知一直角三角形两边长分别为 $ 3 $,$ 2 $,则第三边长是______.

答案： $\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$

5. 已知一等腰直角三角形一边长为 $ 4 $,则另两边长分别是______.

答案： $4,4\sqrt{2}$或$2\sqrt{2},2\sqrt{2}$

6. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,$ \triangle ABC $ 是等腰直角三角形,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,点 $ A(1,0) $,$ B(0,2) $,抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} + bx - 2 $ 经过点 $ C $,求抛物线的函数解析式.

答案： $y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-2$.

7. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ BC = a $,$ AC = b $,$ AB = c $. 若 $ a + b = 5 $,则 $ Rt\triangle ABC $ 的面积 $ S $ 与边长 $ c $ 之间的函数关系式为( )

A.$ S = \frac{25 - c^{2}}{4} $
B.$ S = \frac{25 - c^{2}}{2} $
C.$ S = \frac{25 - c}{2} $
D.$ S = \frac{25 + c^{2}}{4} $

答案： A

8. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle BAD = \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AB = AD $,$ AC = 4BC $. 设 $ CD $ 的长为 $ x $,四边形 $ ABCD $ 的面积为 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式是( )


A.$ y = \frac{2}{25}x^{2} $
B.$ y = \frac{4}{25}x^{2} $
C.$ y = \frac{2}{5}x^{2} $
D.$ y = \frac{4}{5}x^{2} $

答案： C

9. 由长为 $ 3\,cm $,$ 4\,cm $,$ 5\,cm $ 的三条线段首尾顺次连接而成的三角形形状是______.

答案： 直角三角形

10. 若等腰直角三角形的一条直角边长是 $ 3 $,则斜边长是______.

答案： $3\sqrt{2}$

11. 如图,抛物线 $ y = a(x - 1)(x - 3) $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴的正半轴交于点 $ C $,其顶点是 $ D $.
(1)写出 $ C $,$ D $ 两点的坐标；(用含 $ a $ 的式子表示)
(2)求当 $ \triangle BCD $ 是直角三角形时对应抛物线的解析式.

答案：
(1)$C(0,3a),D(2,-a)$.
(2)$y=x^{2}-4x+3$或$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x^{2}-2\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}$.