《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

11. 如图,正三角形 $ ABC $ 内接于 $ \odot O $,若 $ AB = 2\sqrt{3} cm $,求 $ \odot O $ 的半径.

答案： $\odot O$的半径为$2\ cm$。

12. 如图,已知正三角形 $ ABC $ 内接于 $ \odot O $,$ AD $ 是 $ \odot O $ 的内接正十二边形的一条边,连接 $ CD $,若 $ CD = 6 cm $,求 $ \odot O $ 的半径.

答案： $\odot O$的半径为$3\sqrt{2}\ cm$。

13. 如图,六边形 $ ABCDEF $ 是 $ \odot O $ 的内接正六边形.
(1) 求证：在正六边形 $ ABCDEF $ 中,过顶点 $ A $ 的三条对角线四等分 $ \angle BAF $.
(2) 设 $ \odot O $ 的面积为 $ S_1 $,正六边形 $ ABCDEF $ 的面积为 $ S_2 $,求 $ \frac{S_1}{S_2} $ 的值.

答案：

(1)如图,连接AE,AD,AC,
∵六边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形，
∴$EF = ED = CD = BC$，

∴$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠FAE = ∠EAD = ∠DAC = ∠CAB$，
∴过顶点A的三条对角线四等分$∠BAF$。
(2)如图,过O作$OG\perp DE$于G,连接OE,
设$\odot O$的半径为r，
∵$∠DOE = \frac{360°}{6} = 60°$，$OD = OE = r$，
∴$\triangle ODE$是等边三角形，
∴$DE = OD = r$，$∠OED = 60°$，
∴$∠EOG = 30°$，
∴$EG = \frac{1}{2}r$，
∴$OG = \sqrt{OE^2 - EG^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}r$，
∴正六边形ABCDEF的面积$ = 6×\frac{1}{2}×r×\frac{\sqrt{3}}{2}r = \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$。
∵$\odot O$的面积$ = \pi r^2$，
∴$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2} = \frac{2\sqrt{3}\pi}{9}$。