《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = 3$,$AC = 4$,以$B$为圆心,$BC长为半径的圆弧交AB于点D$。若$B$,$C$,$D三点中只有一点在\odot A$内,则$\odot A的半径r$的取值范围是______。

答案： $2＜r\leqslant4$

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 5\mathrm{cm}$,$BC = 4\mathrm{cm}$,以$A$为圆心、$3\mathrm{cm}$长为半径作圆,试判断：
(1)点$C与\odot A$的位置关系；
(2)点$B与\odot A$的位置关系；
(3)$AB的中点D与\odot A$的位置关系。

答案：
(1)点C在$\odot A$上
(2)点B在$\odot A$外
(3)点D在$\odot A$内

12. 如图,$\odot O的半径r = 10$,圆心$O到直线l的距离OD = 6$,在直线$l上有A$,$B$,$C$三点,$AD = 6$,$BD = 8$,$CD = 5\sqrt{3}$,求$A$,$B$,$C三点与\odot O$的位置关系。

答案： 点A在$\odot O$内,点B在$\odot O$上,点C在$\odot O$外.

13. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 6\mathrm{cm}$,$BC = 12\mathrm{cm}$,点$P从点A出发沿AB以1\mathrm{cm/s}的速度向点B$移动；同时,点$Q从点B出发沿BC以2\mathrm{cm/s}的速度向点C$移动。设运动时间为$t\mathrm{s}$。
(1)当$t = 2$时,$\triangle DPQ$的面积为______$\mathrm{cm}^{2}$；
(2)运动过程中,当$A$,$P$,$Q$,$D$四点恰好在同一个圆上时,求$t$的值。

答案：
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD=BC=12\ cm,CD=AB=6\ cm,\angle A=\angle B=\angle C =90^{\circ}.$
由题意得$AP=t\ cm,BQ=2t\ cm.$
∴$BP=AB-AP=(6-t)\ cm,CQ=BC-BQ=(12-2t)\ cm,$
当$t=2$时,$AP=2\ cm,BQ=4\ cm,BP=AB-AP=4\ cm,CQ=BC-BQ=8\ cm,$
∴$\triangle DPQ$的面积$=12×6-\frac{1}{2}×12×2-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×6×8=28(cm^{2}).$
(2)
∵$\angle A=90^{\circ},\therefore A,P,D$三点在以DP为直径的圆上
若点Q也在圆上,则$\angle PQD=90^{\circ}.$
∵$PQ^{2}=(6-t)^{2}+(2t)^{2},DQ^{2}=6^{2}+(12-2t)^{2},DP^{2}=t^{2}+12^{2},PQ^{2}+DQ^{2}=DP^{2},$
∴$(6-t)^{2}+(2t)^{2}+6^{2}+(12-2t)^{2}=t^{2}+12^{2}$，解得$t_{1}=6,t_{2}=\frac{3}{2},$
∴当$t=6$或$\frac{3}{2}$时,A,P,Q,D四点恰好在同一个圆上.