《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

9. 将抛物线 $ y = x^{2} - 6x + 7 $ 向左平移____个单位长度后经过点 $ A(2,2) $.

答案： 3

10. 如图,已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,顶点 $ C $ 的纵坐标为 $ -2 $.现将抛物线向右平移 2 个单位长度,得到抛物线 $ y = a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1} $,则下列结论正确的是______.(选填序号)
① $ b ＞ 0 $；② $ a - b + c ＜ 0 $；③阴影部分的面积为 4；④若 $ c = -1 $,则 $ b^{2} = 4a $.
]

答案： ③④

11. 设抛物线 $ y = x^{2} + (a + 1)x + a $,其中 $ a $ 为实数.
(1) 若抛物线经过点 $ (-1,m) $,则 $ m = $______；
(2) 将抛物线 $ y = x^{2} + (a + 1)x + a $ 向上平移 2 个单位长度,求所得抛物线顶点的纵坐标的最大值.

答案：
(1)0
(2)$y=x^{2}+(a+1)x+a$向上平移2个单位长度可得$y=x^{2}+(a+1)x+a+2$,
$\therefore y=\left(x+\dfrac{a+1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}(a-1)^{2}+2$,$\therefore$抛物线顶点的纵坐标为$-\dfrac{1}{4}(a-1)^{2}+2$.
$\because -\dfrac{1}{4}＜0$,$\therefore$纵坐标的最大值为2.

12. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} - 5ax + 4a $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A,B $,且过点 $ C(5,4) $.
(1) 求 $ a $ 的值和顶点 $ P $ 的坐标；
(2) 请你设计一种平移方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.
]

答案：
(1)$a=1$.顶点$P\left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{9}{4}\right)$.
(2)答案不唯一,如先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线解析式为$y=x^{2}+x+2$.

13. 已知抛物线 $ G:y = mx^{2} - 2mx - 3 $ 有最低点.
(1) 求二次函数 $ y = mx^{2} - 2mx - 3 $ 的最小值(用含 $ m $ 的式子表示)；
(2) 将抛物线 $ G $ 向右平移 $ m $ 个单位长度得到抛物线 $ G_{1} $.经过探究发现,随着 $ m $ 的变化,抛物线 $ G_{1} $ 顶点的纵坐标 $ y $ 与横坐标 $ x $ 之间存在一个函数关系式,求这个函数关系式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.

答案：
(1)$-m-3$.
(2)$y=-x-2(x＞1)$.