《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= 15^{\circ}$,$\angle ACB= 25^{\circ}$,$AB= 6cm$,$\triangle ABC逆时针旋转一定角度后与\triangle ADE$重合,且点$C恰好是AD$的中点。
(1)指出旋转中心,并求出旋转的度数；
(2)求$\angle BAE的度数和AE$的长。
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答案：
(1)
∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为公共顶点，
∴旋转中心是点A，根据旋转的性质可知∠CAE=∠BAD=180°-∠B-∠ACB=140°，
∴旋转角度是140°.
(2)由
(1)可知∠CAE=∠BAD=140°，
∴∠BAE=360°-∠CAE-∠CAB=80°.由旋转的性质可知AB=AD，AC=AE，又
∵C为AD的中点，
∴$AC=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AB=3\ cm$，
∴AE=3 cm.

12. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC三个顶点的坐标分别是A(-3,2)$,$B(-1,4)$,$C(0,2)$。
(1)将$\triangle ABC以点C为旋转中心旋转180^{\circ}$,画出旋转后对应的$\triangle A_1B_1C$；
(2)平移$\triangle ABC$,若$A的对应点A_2的坐标为(-5,-2)$,画出平移后的$\triangle A_2B_2C_2$；
(3)若将$\triangle A_2B_2C_2绕某一点旋转后可以得到\triangle A_1B_1C$,请直接写出旋转中心的坐标。
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答案：
(1)
(2)图略.
(3)(-1,0).

13. 如图,在正方形$ABCD$中,$\angle MAN= 45^{\circ}$,$\angle MAN绕点A$顺时针旋转,它的两边分别交$CB$,$DC$(或它们的延长线)于点$M$,$N$。
(1)当$\angle MAN绕点A$旋转到如图①的位置时,求证：$BM+DN= MN$；
(2)当$\angle MAN绕点A$旋转到如图②的位置时,猜想线段$BM$,$DN和MN$之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想。(不需要证明)
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答案：
(1)证明略.
(2)$DN-BM=MN$.