《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

11. 如图,已知直线 PA 交⊙O 于 A,B 两点,AE 是⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,且 AC 平分∠PAE.
(1)过点 C 作⊙O 的切线交 BP 于点 D,求证：CD⊥PA；
(2)若⊙O 的半径为 5,AB = 6,求 BD 的长.

答案：

(1)如图,连接OC,
∴OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC;
∵AC平分∠PAE,
∴∠DAC=∠CAO,
∴∠DAC=∠OCA,
∴PA//OC.
∵OC为⊙O的半径,CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD,
∴CD⊥PA.
(2)如图,过点O作OF⊥AB交BP于点F,
∴AF=BF=1/2AB,∠OFD=90°.由
(1)可知∠OCD=∠CDA=90°,
∴四边形DCOF为矩形，
∴DF=OC=OA,OF=CD,
∴BD=DF+BF=OA+1/2AB =5+1/2×6=8.

12. 如图,在△ABC 中,AB = AC,以 AB 为直径的⊙O 与 BC 交于点 D,过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于点 E.
(1)求证：∠ABD = ∠ADE；
(2)若⊙O 的半径为$\frac{\sqrt{13}}{2}$,AD = 3,求 CE 的长.

答案：

(1)连接OD,如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°.
∵AB=AC,
∴BD=CD,AD平分∠BAC.而AO=BO,
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD//AC.
∵DE为切线,
∴OD⊥DE,
∴DE⊥AC.
∵∠ABD+∠BAD=90°,∠ADE+∠DAE=90°,而∠BAD=∠DAE,
∴∠ABD=∠ADE.
(2)
∵⊙O的半径为√13/2,
∴AC=AB=√13在Rt△ADC中,CD=√(AC² - AD²)=√(13 - 9)=2.
∵S△ADC=1/2DE·AC=1/2AD·CD,
∴DE =3×2/√13 =6√13/13,
∴CE=√(CD² - DE²)=4√13/13

13. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 7 cm,BC = 4 cm,⊙O 与矩形的边 AB,BC,CD 分别相切于点 E,F,G,点 P 是⊙O 上任意一点,则线段 AP 的长度最小为______cm.

答案： √29 - 2