《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

9. 已知 $ y = (a + 2)x^{a^2 + a - 4} - 3 $ 是二次函数,且当 $ x ＞ 0 $ 时 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则 $ a = $____。

答案： -3

10. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = ax^2 + 3 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $,过点 $ A $ 作 $ x $ 轴的平行线交抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 于 $ B $,$ C $ 两点,则 $ BC $ 长为____。

答案： 4√3

11. 如图,隧道的截面由抛物线和矩形构成,矩形的长是 8 m,宽是 2 m,抛物线可以用 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 4 $ 表示。一辆货车高 4 m,宽 2 m,它能通过隧道吗？
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答案： 能通过.理由略.

12. 如图,已知抛物线 $ y = -x^2 + 4 $ 交 $ x $ 轴于 $ A $,$ B $ 两点,顶点是 $ C $。
(1) 求 $ \triangle ABC $ 的面积；
(2) 若点 $ P $ 在抛物线 $ y = -x^2 + 4 $ 上,且 $ S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2}S_{\triangle CAB} $,求点 $ P $ 的坐标；
(3) 在抛物线 $ y = -x^2 + 4 $ 上是否存在点 $ Q $,使 $ \angle AQB = 90° $？若存在,求出点 $ Q $ 的坐标；若不存在,请说明理由。
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答案：
(1)S△ABC=8.
(2)P(√2,2)或(-√2,2)或(√6,-2)或(-√6,-2).
(3)存在.Q(√3,1)或(-√3,1).