《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

3. 如图,已知正五边形 $ ABCDE $ 内接于 $ \odot O $,连结 $ BD $,则 $ \angle ABD $ 的度数是( )

A.$ 60^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 72^{\circ} $
D.$ 144^{\circ} $

答案： C

4. 若正六边形的内切圆半径为 $ 2 $,则其外接圆半径为______.

答案： $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

5. 如图,$ AC $ 是正五边形 $ ABCDE $ 的一条对角线,则 $ \angle ACB $ 的度数为______.

答案： $36°$

6. 如图,$ \odot O $ 的半径为 $ 4 cm $,正六边形 $ ABCDEF $ 内接于 $ \odot O $
(1) 求圆心 $ O $ 到 $ AF $ 的距离；
(2) 求正六边形 $ ABCDEF $ 的面积.

答案：

(1)过O作$OH\perp AF$于H,连接OA,OF,
∵在正六边形ABCDEF中，
$∠BAF = 120°$，
∴$∠OAF = 60°$。

∵$OA = 4\ cm$，
∴$AH = \frac{1}{2}OA = 2\ cm$，
∴$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}\ (cm)$，
∴圆心O到AF的距离为$2\sqrt{3}\ cm$。
(2)
∵$OA = OF$，$∠OAF = 60°$，
∴$\triangle OAF$是等边三角形，
∴$AF = OA = 4\ cm$，
∴$S_{\triangle AOF} = \frac{1}{2}×4×2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\ (cm^2)$，
∴正六边形ABCDEF的面积$ = 6S_{\triangle AOF} = 24\sqrt{3}\ cm^2$。

7. 如图,正六边形 $ ABCDEF $ 内接于 $ \odot O $,若 $ \odot O $ 的半径为 $ 6 $,则 $ \triangle ADE $ 的周长是( )

A.$ 9 + 3\sqrt{3} $
B.$ 12 + 6\sqrt{3} $
C.$ 18 + 3\sqrt{3} $
D.$ 18 + 6\sqrt{3} $

答案： D

8. 如图,取两根等宽的纸条折叠穿插,拉紧,可得边长为 $ 2 $ 的正六边形. 则原来的纸带宽为( )

A.$ 1 $
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 2 $

答案： C

9. 如图,正六边形 $ ABCDEF $ 内接于 $ \odot O $,$ \odot O $ 的半径为 $ 6 $,则这个正六边形的边心距 $ OM $ 的长为______.

答案： $3\sqrt{3}$

10. 如图,将正六边形 $ ABCDEF $ 放入直角坐标系中,中心与坐标原点重合. 若点 $ A $ 的坐标为 $ (-1, 0) $,则点 $ C $ 的坐标为______.

答案： $\left( \frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$