《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

7. 方程 $ 4x^{2} - 49 = 0 $ 的解为( )

A.$ x = \frac{2}{7} $
B.$ x_{1} = \frac{7}{2} $,$ x_{2} = - \frac{7}{2} $
C.$ x = \frac{7}{2} $
D.$ x_{1} = \frac{2}{7} $,$ x_{2} = - \frac{2}{7} $

答案： B

8. 解方程 $ \left( x + \frac{1}{x} \right)^{2} - 2 \left( x + \frac{1}{x} \right) - 3 = 0 $ 时,若 $ x + \frac{1}{x} = y $,则原方程可化为( )

A.$ y^{2} - 2y - 1 = 0 $
B.$ y^{2} - 2y - 3 = 0 $
C.$ y^{2} - 2y + 1 = 0 $
D.$ y^{2} + 2y - 3 = 0 $

答案： B

9. 方程 $ (x + 1)(x - 3) = 5 $ 的解是______.

答案： $x_{1}=4,x_{2}=-2$

10. 定义新运算 $ \circledR $：对于任意实数 $ a $,$ b $ 都有 $ a \circledR b = a^{2} + ab $. 例：$ 3 \circledR 4 = 3^{2} + 3 × 4 = 9 + 12 = 21 $,则方程 $ x \circledR 2 = 0 $ 的解为______.

答案： $x_{1}=0,x_{2}=-2$

11. 用适当的方法解下列方程.
(1) $ x^{2} - 2x - 3 = 0 $；
(2) $ (x + 2)^{2} = 2x + 4 $；
(3) $ (3x + 1)^{2} - 4 = 0 $.

答案：
(1)$x_{1}=-1,x_{2}=3$.
(2)$x_{1}=0,x_{2}=-2$.
(3)$x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=-1$.

12. 阅读材料,解答问题.
为解方程 $ (x^{2} - 1)^{2} - 5(x^{2} - 1) + 4 = 0 $,我们可以将 $ x^{2} - 1 $ 视为一个整体,设 $ x^{2} - 1 = y $,则原方程可化为 $ y^{2} - 5y + 4 = 0 $①,
解得 $ y_{1} = 1 $,$ y_{2} = 4 $.
当 $ y = 1 $ 时,$ x^{2} - 1 = 1 $,$ \therefore x^{2} = 2 $ 即 $ x = \pm \sqrt{2} $.
当 $ y = 4 $ 时,$ x^{2} - 1 = 4 $,$ \therefore x^{2} = 5 $ 即 $ x = \pm \sqrt{5} $.
$ \therefore $ 原方程的解为 $ x_{1} = \sqrt{2} $,$ x_{2} = - \sqrt{2} $,$ x_{3} = \sqrt{5} $,$ x_{4} = - \sqrt{5} $.
(1) 在从原方程得到方程①的过程中,利用______法达到降次的目的；
(2) 在上面的解答过程中体现了______的数学思想；
(3) 解方程 $ x^{4} - x^{2} - 6 = 0 $.

答案：
(1)换元
(2)转化
(3)$x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=-\sqrt{3}$.