《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图 3-5-5,AB 是$\odot O$的直径,若$\angle D= 60^\circ$,则$\angle ABC$的度数为(A)
A.$30^\circ$
B.$45^\circ$
C.$60^\circ$
D.$90^\circ$
 

答案： 【解析】：本题可根据圆周角定理及其推论求出$\angle ACB$和$\angle A$的度数，再利用三角形内角和定理求出$\angle ABC$的度数。
步骤一：根据圆周角定理的推论求出$\angle ACB$的度数
圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角。
已知$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
步骤二：根据同弧所对的圆周角相等求出$\angle A$的度数
圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等。
因为$\angle A$和$\angle D$都是弧$BC$所对的圆周角，已知$\angle D = 60^{\circ}$，所以$\angle A = \angle D = 60^{\circ}$。
步骤三：根据三角形内角和定理求出$\angle ABC$的度数
三角形内角和定理：三角形的内角和等于$180^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，根据三角形内角和定理可得$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle ACB - \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
【答案】：A

例2 如图 3-5-6,AB 是$\odot O$的直径,$\angle A= 53^\circ$,$\angle B= 37^\circ$,求证：$\widehat{AC}= \widehat{AD}$.

 

答案： 【解析】：本题主要考查圆周角定理及其推论以及等角对等弦的应用。
首先，根据直径所对的圆周角是直角这一性质，得出$\angle ACB = 90^{\circ}$，进而推出$\angle A + \angle ABC = 90^{\circ}$。
然后，已知$\angle A = 53^{\circ}$，通过计算得出$\angle ABC = 37^{\circ}$。
又因为已知$\angle ABD = 37^{\circ}$，所以$\angle ABC = \angle ABD$。
最后，根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等这一性质，得出$\widehat{AC} = \widehat{AD}$。
【答案】：
证明：
连结$BC$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle A + \angle ABC = 90^{\circ}$。
$\because \angle A = 53^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = 90^{\circ} - \angle A = 37^{\circ}$。
又$\because \angle ABD = 37^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle ABD$，
$\therefore \widehat{AC} = \widehat{AD}$。