《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例2 已知某二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示:
| x | ... | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | n | 5 | ... |
| y | ... | -8 | -3 | m | 1 | 0 | -3 | -8 | ... |
(1)直接写出m,n的值,并求当x在什么范围时,y随x的增大而增大.
(2)若点$(p,q)$在该二次函数图象上,当$-1≤p≤4$时,求q的取值范围.
 

答案： 【解析】：
(1)从表格中，可以观察到当$x=-1$和$x=5$时，$y$值都是$-8$，这说明二次函数的对称轴是$x=2$，因为对称轴是两点横坐标和的一半，即$x=\frac{-1+5}{2}=2$。
由于点$(1,m)$与点$(3,0)$关于直线$x=2$对称，因此$m=0$。
同理，点$(0,-3)$与点$(n,-3)$也关于直线$x=2$对称，所以$n=4$。
又因为抛物线的对称轴是$x=2$，且当$x≤2$时，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x$在$(-∞,2]$范围内时，$y$随$x$的增大而增大。
(2)由于抛物线的对称轴是$x=2$，且当$x≤2$时，$y$随$x$的增大而增大，因此抛物线开口向下。
所以，当$x=2$时，$y$取得最大值，即$y=1$。
考虑到$x=-1$和$x=4$是关于对称轴$x=2$对称的，我们需要比较这两个点对应的$y$值来确定最小值。
由于$|2-(-1)|＞|2-4|$，即$x=-1$离对称轴更远，所以当$x=-1$时，$y$取得最小值，即$y=-8$。
因此，当$-1≤p≤4$时，$q$的取值范围是$-8≤q≤1$。
【答案】：
(1)$m=0$，$n=4$；当$x≤2$时，$y$随$x$的增大而增大。
(2)当$-1≤p≤4$时，$q$的取值范围是$-8≤q≤1$。

变式2-1 下列抛物线中,顶点为$(3,2)$,且与抛物线$y=x^{2}$的开口方向相同的是（B）
A.$y=2(x+3)^{2}+2$
B.$y=2(x-3)^{2}+2$
C.$y=-2(x+3)^{2}+2$
D.$y=-2(x-3)^{2}+2$

答案： B

变式2-2 已知二次函数$y=x^{2}-2x+1$的图象向左平移2个单位得到抛物线C,点$P(2,y_{1}),Q(3,y_{2})$在抛物线C上,则$y_{1}$＜(填"＞"或"＜")$y_{2}.$

答案： ＜

变式2-3 二次函数$y=(x-m)^{2}-(x-m)(0＜x＜1)$的图象都在x轴的上方,则m的取值范围是_____.

答案： $m\geqslant 1$或$m\leqslant -1$