《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 (2024秋·湖州期中)
如图 3-4-4,在⊙O 中,弦AD= BC,OE⊥AB 于点E,OH⊥BC 于点H.
(1)求证:AB= CD.
(2)若⊙O 的半径为5,CD= 8,BC= 4,求OE+OH 的长.
(1)证明：
∵AD=BC，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∴$\widehat{AD}+\widehat{BD}=\widehat{BC}+\widehat{BD}$，即$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，
∴AB=CD。
(2)解：连结OB。
∵AB=CD=8，OE⊥AB，
∴EB=4，
在Rt△BOE中，OE=$\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
连结OC，
∵OH⊥BC，BC=4，
∴CH=2，
在Rt△COH中，OH=$\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$，
∴OE+OH=3+$\sqrt{21}$。

答案：
(1)证明：
∵AD=BC，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∴$\widehat{AD}+\widehat{BD}=\widehat{BC}+\widehat{BD}$，即$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，
∴AB=CD。
(2)解：连结OB。
∵AB=CD=8，OE⊥AB，
∴EB=4，
在Rt△BOE中，OE=$\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
连结OC，
∵OH⊥BC，BC=4，
∴CH=2，
在Rt△COH中，OH=$\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$，
∴OE+OH=3+$\sqrt{21}$。

例2 【情境再现】如图 3-4-5①,AB,AC 是⊙O 的两条弦,AO 平分∠BAC.求证:$\widehat{AB}$= $\widehat{AC}$.
【类比探究】如图 3-4-5②,A 为⊙O 外一点,AO 平分∠DAE.求证:$\widehat{BD}$= $\widehat{CE}$.
【拓展延伸】如图 3-4-5③,在△ABC 中,∠B= 70°,⊙O 截三边所得的弦DE= FG= HI,求∠AOC 的度数.

 

答案： 【情境再现】证明：过点O作OD⊥AC于点D，OE⊥AB于点E。
∵AO平分∠BAC，
∴OD=OE，
∴AB=AC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$。
【类比探究】证明：过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥AE于点N。
∵AO平分∠DAE，
∴OM=ON，
∴BD=CE，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CE}$。
【拓展延伸】解：过点O作OM⊥DE于点M，OK⊥FG于点K，OP⊥HI于点P。
∵DE=FG=HI，
∴OM=OK=OP，
∴AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠BCA。
∵∠B=70°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=110°，
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$×110°=55°，
∴∠AOC=180°-55°=125°。