《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

10. 如图,C 是$\odot O$优弧 ACB 上的中点,弦$AB= 6cm$,E 为 OC 上任意一点,动点 F 从点 A 出发,以 1 cm/s 的速度沿 AB 方向向点 B 匀速运动. 设$y= AE^{2}-EF^{2}$,则 y 关于动点 F 的运动时间$x(s)(0≤x≤6)$的函数表达式为______$y=6x-x^2(0\leqslant x\leqslant6)$.

答案： $y=6x-x^2(0\leqslant x\leqslant6)$

11. 某市新建一座圆形人工湖,为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取 A,B,C 三根木柱,使得 A,B 两点之间的距离与 A,C 两点之间的距离相等,并测得 BC 的长为 120 m,点 A 到 BC 的距离为 40 m,如图.
(1)求人工湖的半径.
(2)如果在圆周上再另取一点 P(不与点 A 重合),建造一座连结 B,C,P 三点的三角形艺术桥,且$\triangle BCP$为等腰三角形. 问：这样的点 P 可以有几处？如何找到？

答案： 1. （1）
解：设圆心为$O$，连接$OA$交$BC$于点$D$，连接$OB$。
因为$AB = AC$，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据垂径定理的推论可知$OA\perp BC$，$BD=\frac{1}{2}BC$。
已知$BC = 120m$，则$BD = 60m$，设圆$O$的半径为$r$，点$A$到$BC$的距离$AD = 40m$，则$OD=r - 40$。
在$Rt\triangle OBD$中，根据勾股定理$OB^{2}=OD^{2}+BD^{2}$，即$r^{2}=(r - 40)^{2}+60^{2}$。
展开$r^{2}=r^{2}-80r + 1600+3600$。
移项可得$r^{2}-r^{2}+80r=1600 + 3600$。
合并同类项得$80r=5200$，解得$r = 65m$。
2. （2）
答案：这样的点$P$有$3$处。
方法：作$BC$的垂直平分线（除$OA$所在直线）与圆的交点为$P_1$，$P_2$；以$B$为圆心，$BC$长为半径画弧与圆的交点（除$C$点）为$P_3$（或 以$C$为圆心，$BC$长为半径画弧与圆的交点（除$B$点））。
综上，（1）人工湖的半径为$65m$；（2）点$P$有$3$处，作$BC$的垂直平分线（除$OA$所在直线）与圆的交点为$P_1$，$P_2$；以$B$为圆心，$BC$长为半径画弧与圆的交点（除$C$点）为$P_3$（或 以$C$为圆心，$BC$长为半径画弧与圆的交点（除$B$点））。

12. 如图,隧道的上方是一段圆弧,下方是矩形 ABCD. 矩形的长 BC 为 12 m,宽 AB 为 3 m,隧道的顶端 E($\widehat {AED}$的中点)高出道路(BC)7 m.
(1)求$\widehat {AED}$所在圆的半径.
(2)如果该隧道内设双行道,有一辆货运卡车,假设车高 6.5 m,宽 2.3 m,那么这辆货运卡车能否通过该隧道？

答案：

(1)如解图，设圆心为点 O，半径为 r(m)，连结 OA，连结 OE 交 AD 于点 F. 易知 $OE\perp AD$，
$OF=r-(7-3)=(r-4)$m，$AF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=6$m.
在$\text{Rt}\triangle OAF$中，$AF^2+OF^2=OA^2$，即$6^2+(r-4)^2=r^2$，解得$r=6.5$，即$\overset{\frown}{AED}$所在圆的半径为 6.5 m.
(2)如解图，在$\overset{\frown}{ED}$上取一点 H，过点 H 作$HG\perp OE$于点 G，使$GH=2.3$m，连结 OH. 由勾股定理，得$OG=\sqrt{OH^2-GH^2}=\sqrt{6.5^2-2.3^2}\approx6.08$(m)，
∴点 G 到 BC 的距离约为$(7-6.5)+6.08=6.58$(m)$＞6.5$m. 答：这辆货运卡车能通过该隧道.