《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 已知两条线段的长度a,b满足$\frac{a}{3}=\frac{b}{2},$ 且$a+3b=18$.若另一条线段长度m是a,b 的比例中项,则m的值为$2\sqrt{6}$.

答案： 解：
∵$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}$，
∴$a=\frac{3}{2}b$。
∵$a + 3b = 18$，
∴$\frac{3}{2}b+3b=18$，
解得$b = 4$，
∴$a=6$。
∵$m$是$a$，$b$的比例中项，
∴$m^{2}=ab=6×4 = 24$，
∴$m = 2\sqrt{6}$（负值已舍去）。
答案 $2\sqrt{6}$

例2 如图4-1-4,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作$BC⊥$ AB,使$BC=\frac{1}{2}AB$,连结AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若$AE=mAB$,则m的值为 (A)
A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$\sqrt{5}-2$
 

答案： 解：令AB的长为2a，则$BC=\frac{1}{2}AB=a$。
在$Rt△ABC$中，$AC=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{5}a$。
∵$CD=CB=a$，
∴$AD=AC-CD=\sqrt{5}a - a=(\sqrt{5}-1)a$。
∵$AE=AD$，
∴$AE=(\sqrt{5}-1)a$。
∵$AE=mAB$，$AB=2a$，
∴$m=\frac{AE}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
答案 A

例3 黄金分割由于其美学性质,受到摄影爱好者和艺术家的喜爱,摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法,其原理:如图4-1-5,将正方形ABCD的底边BC取中点E,以点E为圆心,线段DE长为半径作圆,其与底边BC的延长线交于点F,这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG,称其为黄金矩形.若$CF=4a$,则AB的长为 (D)
A.$(\sqrt{5}-1)a$
B.$(2\sqrt{5}-2)a$
C.$(\sqrt{5}+1)a$
D.$(2\sqrt{5}+2)a$
 

答案： 解：设$AB = x$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB = BC = CD = x$，$\angle DCE = 90^\circ$。
∵$E$是$BC$的中点，
∴$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{x}{2}$。
∵以点$E$为圆心，线段$DE$长为半径作圆，与底边$BC$的延长线交于点$F$，
∴$EF = DE$。
在$Rt\triangle DCE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^{2}+CE^{2}}=\sqrt{x^{2}+(\frac{x}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{5x^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{5}x}{2}$，
∴$EF=\frac{\sqrt{5}x}{2}$。
∵$EF = EC + CF$，$CF = 4a$，
∴$\frac{\sqrt{5}x}{2}=\frac{x}{2}+4a$。
解得$x=(2\sqrt{5}+2)a$。
经检验，$x=(2\sqrt{5}+2)a$是原方程的根。
∴$AB=(2\sqrt{5}+2)a$。
答案：D