《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例3 已知一个二次函数的图象经过原点及点(-2,-2),且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4,求该二次函数的表达式。
 

答案： 解：设该二次函数的表达式为$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$。
∵二次函数的图象经过原点，
∴$c = 0$，
∴$y = ax^2 + bx$。
∵二次函数的图象与$x$轴的另一个交点到原点的距离为$4$，
∴另一个交点坐标为$(-4, 0)$或$(4, 0)$。
①当交点坐标为$(-4, 0)$时，
把$(-2, -2)$，$(-4, 0)$代入$y = ax^2 + bx$，得
$\begin{cases}4a - 2b = -2 \\16a - 4b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = \frac{1}{2} \\b = 2\end{cases}$
此时表达式为$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$。
②当交点坐标为$(4, 0)$时，
把$(-2, -2)$，$(4, 0)$代入$y = ax^2 + bx$，得
$\begin{cases}4a - 2b = -2 \\16a + 4b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{6} \\b = \frac{2}{3}\end{cases}$
此时表达式为$y = -\frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x$。
综上所述，该二次函数的表达式为$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$或$y = -\frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x$。

A组
1. 抛物线 $ y= -3x^{2}+6x+2 $ 的对称轴是(C)
A.直线 $ x= 2 $
B.直线 $ x= -2 $
C.直线 $ x= 1 $
D.直线 $ x= -1 $

答案： C

2. 将二次函数 $ y= x^{2}+6x+2 $ 化成 $ y= (x-m)^{2}+k $ 的形式应为(A)
A.$ y= (x+3)^{2}-7 $
B.$ y= (x-3)^{2}+11 $
C.$ y= (x+3)^{2}-11 $
D.$ y= (x+2)^{2}+4 $

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的配方方法，即将一般形式的二次函数转化为顶点形式。
首先，我们有原函数 $y = x^{2} + 6x + 2$。
为了将其转化为 $y = (x - m)^{2} + k$ 的形式，我们需要对 $x^{2} + 6x$ 进行配方。
配方的一般步骤是加上和减去一次项系数一半的平方，即 $(\frac{6}{2})^{2} = 9$。
所以，我们有：
$y = x^{2} + 6x + 2 = x^{2} + 6x + 9 - 9 + 2 = (x + 3)^{2} - 7$
这样，我们就成功地将原函数转化为顶点形式。
【答案】：
A. $y = (x + 3)^{2} - 7$

3. 抛物线 $ y= x^{2}-2x+m^{2}+2 $(m是常数)的顶点在(A)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 解：将抛物线$y = x^{2}-2x + m^{2}+2$化为顶点式，
$y=x^{2}-2x+1 + m^{2}+1=(x - 1)^{2}+m^{2}+1$，
所以顶点坐标为$(1,m^{2}+1)$。
因为$1＞0$，$m^{2}+1\geq1＞0$，
所以顶点在第一象限。
答案：A

4. 已知抛物线 $ y= (k+2)x^{2}+6x-5 $ 的开口向下,那么k的取值范围是$k ＜ -2$。

答案： 【解析】：
题目考查了二次函数的性质，特别是二次项系数与抛物线开口方向的关系。
对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
因此，对于给定的函数$y = (k + 2)x^{2} + 6x - 5$，要使其开口向下，必须有$k + 2 ＜ 0$。
解这个不等式，得到$k ＜ -2$。
【答案】：
$k ＜ -2$

5. 已知二次函数 $ y= 2x^{2}+bx+1 $ 的图象过点(2,-1),则b的值为-5。

答案： 解：因为二次函数$y = 2x^{2}+bx + 1$的图象过点$(2,-1)$，所以将$x = 2$，$y=-1$代入函数解析式可得：
$-1=2×2^{2}+b×2 + 1$
$-1=2×4 + 2b+1$
$-1=8 + 2b+1$
$-1=9 + 2b$
$2b=-1 - 9$
$2b=-10$
$b=-5$
故答案为$-5$。

6. 已知抛物线 $ y= -x^{2}+bx+4 $ 经过(-2,n)和(4,n)两点,则抛物线的对称轴是直线$x=1$,n=$-4$。

答案： 解：因为抛物线 $ y = -x^2 + bx + 4 $ 经过$(-2,n)$和$(4,n)$两点，这两点纵坐标相同，所以它们关于对称轴对称。
对称轴为直线 $ x = \frac{-2 + 4}{2} = 1 $。
将 $ x = -2 $ 代入抛物线方程得：$ n = -(-2)^2 + b(-2) + 4 $，即 $ n = -4 - 2b + 4 = -2b $。
又因为对称轴 $ x = -\frac{b}{2a} = 1 $，其中 $ a = -1 $，所以 $ -\frac{b}{2×(-1)} = 1 $，解得 $ b = 2 $。
则 $ n = -2b = -2×2 = -4 $。
抛物线的对称轴是直线 $ x = 1 $，$ n = -4 $。
答案：$ x = 1 $；$-4$

7. 在平面直角坐标系中,已知抛物线C：$ y= -x^{2}+bx+c $ 经过点(0,3)和(1,1)。
(1)求抛物线C的函数表达式。
(2)将抛物线C先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到抛物线 $ C_{1} $,求抛物线 $ C_{1} $ 的顶点坐标。

答案：
(1)解：将点(0,3)代入$y=-x^{2}+bx+c$，得$c=3$。
将点(1,1)和$c=3$代入$y=-x^{2}+bx+c$，得$-1+b+3=1$，解得$b=-1$。
所以抛物线C的函数表达式为$y=-x^{2}-x+3$。
(2)解：$y=-x^{2}-x+3=-(x^{2}+x)+3=-(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{13}{4}$，抛物线C的顶点坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{13}{4})$。
向左平移2个单位，横坐标变为$-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$；向下平移1个单位，纵坐标变为$\frac{13}{4}-1=\frac{9}{4}$。
所以抛物线$C_{1}$的顶点坐标为$(-\frac{5}{2},\frac{9}{4})$。