《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

9. 如图，AE 平分∠BAC，D 为 AE 上一点，∠B=∠C.
（1）求证：△ABE∽△ACD.
（2）若 D 为 AE 中点，BE=4，求 CD 的长.

答案： 1. （1）证明：
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\angle CAD$。
又因为$\angle B = \angle C$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，根据两角分别相等的两个三角形相似，即$\angle B=\angle C$，$\angle BAE=\angle CAD$，所以$\triangle ABE\sim\triangle ACD$。
2. （2）解：
因为$\triangle ABE\sim\triangle ACD$，所以$\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AD}$。
已知$D$为$AE$中点，即$AE = 2AD$，$BE = 4$。
把$AE = 2AD$，$BE = 4$代入$\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AD}$中，得到$\frac{4}{CD}=\frac{2AD}{AD}$。
因为$\frac{2AD}{AD}=2$，所以$2=\frac{4}{CD}$，则$CD = 2$。
综上，（1）已证$\triangle ABE\sim\triangle ACD$；（2）$CD$的长为$2$。

10. 如图，圆内接四边形 ABCD 的边 BA，CD 的延长线相交于点 P，AC，BD 相交于点 E，则图中相似三角形有 （C）
A.2 对
B.3 对
C.4 对
D.5 对

答案： C

11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，P 是 AC 的中点. 若过点 P 的直线 m 截得的三角形与原△ABC 相似，则这样的直线 m 的条数是4.

答案： 4

12. 如图，边长分别为 10，6，4 的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一条直线上，则图中阴影部分的面积为15.

答案： 15

13. 如图，在△ABC 中，D，E 为边 AB 的三等分点，点 F，G 在边 BC 上，AC//DG//EF，H 为 AF 与 DG 的交点. 若 AC=12，求 DH 的长.

答案： 2.

14. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，BD=7. 若 M，N 分别是边 AD，BC 上的动点，且 AM=BN，作 ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为 E，F，则 ME+NF 的值为 .

答案：
$\frac{\sqrt{15}}{2}$[如解图，连结AC交BD于点O.
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，OB=OD=$\frac{7}{2}$，OA=OC，
∴OA=$\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{4^{2}-(\frac{7}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$.

∵ME⊥BD，AO⊥BD，
∴ME//AO，
∴△DEM∽△DOA，
∴$\frac{ME}{AO}=\frac{DM}{DA}$，即$\frac{ME}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{4 - AM}{4}$，
∴ME=$\frac{\sqrt{15}}{2}-\frac{\sqrt{15}}{8}AM$.同理可得NF=$\frac{\sqrt{15}}{8}BN$.又
∵AM = BN，
∴NF=$\frac{\sqrt{15}}{8}AM$，
∴ME + NF=$\frac{\sqrt{15}}{2}$.]