《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图 4-4-14，在正方形ABCD中，E为AB的中点，BC=4BF，那么图中与△ADE相似的三角形有（D）
A.△CDF
B.△BEF
C.△BEF，△DCF
D.△BEF，△EDF

答案： 解：设BC=4a，则BF=a，AE=BE=2a，CF=3a。
在Rt△AED中，DE=√((2a)²+(4a)²)=2√5 a；
在Rt△BEF中，EF=√(a²+(2a)²)=√5 a；
在Rt△DFC中，DF=√((3a)²+(4a)²)=5a；
在Rt△EDF中，DF=5a，EF=√5 a，DE=2√5 a。
∵AE/BF=2a/a=2，AD/BE=4a/2a=2，DE/EF=2√5 a/√5 a=2，
∴AE/BF=AD/BE=DE/EF，
∴△ADE∽△BEF。
∵AE/EF=2a/√5 a=2√5/5，AD/DE=4a/2√5 a=2√5/5，DE/DF=2√5 a/5a=2√5/5，
∴AE/EF=AD/DE=DE/DF，
∴△ADE∽△EDF。
答案 D

例2 （2024秋·金华永康期中）如图4-4-15，在6×6的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形，△ABC是一个格点三角形.

（1）在图①中，请判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.
（2）在图②中，请画出一个格点三角形△PQR与△ABC相似，且相似比为√2.
 

答案：
解 （1）相似. 理由如下：
∵AB=1，BC=√(1²+2²)=√5，AC=√(2²+2²)=2√2，DE=√(1²+1²)=√2，DF=4，EF=√(1²+3²)=√10，
∴DE/AB=EF/BC=DF/AC=√2，
∴△ABC∽△DEF.
（2）如解图，△PQR即为所求.