《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图 3-8-1,在 $ \odot O $ 的内接四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle B= 62^{\circ} $,$ \angle ACD= 39^{\circ} $. 若 $ \odot O $ 的半径为 5,则 $ \widehat{CD} $ 的长为( )

A.$ \frac{13}{18}\pi $
B.$ \frac{10}{9}\pi $
C.$ \frac{23}{18}\pi $

 

D.$ \frac{23}{36}\pi $
 

答案：
解：连结OA，OC，OD。
∵∠B=62°，
∴∠AOC=2∠B=124°。
∵∠ACD=39°，
∴∠AOD=2∠ACD=78°。
∴∠COD=∠AOC - ∠AOD=124° - 78°=46°。
∵⊙O的半径为5，
∴$\widehat{CD}$的长为$\frac{46×π×5}{180}=\frac{23}{18}π$。
答案：C

例2 (2024 秋·温州期末)某仿古墙上原有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形,如图 3-8-2 所示. 已知矩形的宽为 2 m,高为 $ 2\sqrt{3}\ \text{m} $,则改建后门洞的圆弧长是( )

A.$ \frac{5\pi}{3}\ \text{m} $
B.$ \frac{8\pi}{3}\ \text{m} $
C.$ \frac{10\pi}{3}\ \text{m} $
D.$ \left( \frac{5\pi}{3}+2 \right)\text{m} $

 
 

答案：

解析 如解图所示标注字母,连结 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ O $,连结 $ AB $.
由题意可知,$ CD= AB= 2\ \text{m} $,$ AD= BC= 2\sqrt{3}\ \text{m} $.
$ \because \angle BCD= 90^{\circ} $,
$ \therefore BD $ 是直径,
$ BD= \sqrt{CD^{2}+BC^{2}}= \sqrt{2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}= 4(\text{m}) $.
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形,
$ \therefore OC= OD= \frac{1}{2}BD= 2\ \text{m} $.
$ \because CD= 2\ \text{m} $,
$ \therefore OC= OD= CD $,
$ \therefore \triangle COD $ 是等边三角形,
$ \therefore \angle AOB= \angle COD= 60^{\circ} $,
$ \therefore $ 门洞的圆弧所对的圆心角为 $ 360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ} $,
$ \therefore $ 改建后门洞的圆弧长是 $ \frac{300\pi × 2}{180}= \frac{10}{3}\pi(\text{m}) $.
答案 C