《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

如图,$\odot O$的直径 BA 的延长线与弦 DC 的延长线相交于点 E,且$CE= OB$. 若$\angle DOB= 72^{\circ}$,则$\angle E$的度数为 (A)
A.$24^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$48^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： A

9. 如图,原点右边7个单位处有一点 P,数轴上半径为1的$\odot O$从原点 O 开始以每秒2个单位的速度向右运动,经过3或4秒,点 P 在$\odot O$上.

答案： 3或4

10. 点 P 不在$\odot O$上,若点 P 到$\odot O$上的点的最小距离是4 cm,最大距离是9 cm,则$\odot O$的半径为6.5 cm或2.5 cm.

答案： 6.5 cm或2.5 cm

11. 如图,$\odot O$的半径为1,P 是$\odot O$外一点,$OP= 2$,Q 是$\odot O$上的动点,线段 PQ 的中点为 M,连结 OM,求线段 OM 的最小值.

答案： $\frac{1}{2}$.

12. 对于$\odot P$及一个矩形给出如下定义：如果$\odot P$上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点,那么称$\odot P$是该矩形的“等距圆”. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的顶点 A 的坐标为$(\sqrt{3},2)$,顶点 C,D 在 x 轴上,$OC= OD$,且$\odot P$的半径为4.

(1)在点$P_{1}(0,-2)$,$P_{2}(2\sqrt{3},3)$,$P_{3}(-2\sqrt{3},1)$中可以成为矩形 ABCD 的“等距圆”的圆心的是点______.
(2)如果点 P 在直线$y= -\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$上,且$\odot P$是矩形 ABCD 的“等距圆”,求点 P 的坐标.
(1)$P_1$，$P_2$，$P_3$
(2)点$P$的坐标为$(\sqrt{3},0)$或$(-3\sqrt{3},4)$

答案： 1. （1）
因为四边形$ABCD$是矩形，$OC = OD$，$A(\sqrt{3},2)$，根据矩形的性质可知$OA = OB=OC = OD$，$O$是矩形$ABCD$四个顶点距离都相等的点（矩形对角线的交点到四个顶点距离相等）。
已知$\odot P$的半径$r = 4$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$。
对于$P_1(0, - 2)$，$OP_1=\sqrt{(0 - 0)^2+( - 2-0)^2}=2\lt4$；
对于$P_2(2\sqrt{3},3)$，$OP_2=\sqrt{(2\sqrt{3}-0)^2+(3 - 0)^2}=\sqrt{12 + 9}=\sqrt{21}\lt4$；
对于$P_3(-2\sqrt{3},1)$，$OP_3=\sqrt{(-2\sqrt{3}-0)^2+(1 - 0)^2}=\sqrt{12 + 1}=\sqrt{13}\lt4$。
又因为$O$到矩形$ABCD$四个顶点距离相等，若$\odot P$是矩形$ABCD$的“等距圆”，则$OP\leqslant r$（$O$在$\odot P$上或圆内），所以$P_1$，$P_2$，$P_3$都可以成为矩形$ABCD$的“等距圆”的圆心。
2. （2）
设点$P(x,-\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1)$，因为$O(0,0)$，$\odot P$的半径$r = 4$，根据两点间距离公式$OP=\sqrt{(x - 0)^2+(-\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1-0)^2}$。
由$OP\leqslant4$，则$x^{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1)^{2}\leqslant16$。
展开式子得$x^{2}+\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x + 1\leqslant16$。
合并同类项：$\frac{3x^{2}+x^{2}-2\sqrt{3}x + 3}{3}\leqslant16$，即$4x^{2}-2\sqrt{3}x+3\leqslant48$。
进一步化为$4x^{2}-2\sqrt{3}x - 45 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 4,b=-2\sqrt{3},c = - 45)$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
先计算$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{3})^{2}-4×4×(-45)=12 + 720 = 732$。
$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{732}}{8}=\frac{2\sqrt{3}\pm2\sqrt{183}}{8}=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{183}}{4}$。
另一种方法：
因为$O(0,0)$，$P(x,-\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1)$，$OP=\sqrt{x^{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1)^{2}}$，由$OP = 4$（$O$在圆上时），则$x^{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1)^{2}=16$。
展开得$x^{2}+\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+1 = 16$。
整理得$4x^{2}-2\sqrt{3}x-45 = 0$，$a = 4$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=-45$。
$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}-4×4×(-45)}}{2×4}=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{12 + 720}}{8}=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{732}}{8}=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{183}}{4}$。
当$x=\sqrt{3}$时，$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}+1=-1 + 1=0$；
当$x=-3\sqrt{3}$时，$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}×(-3\sqrt{3})+1=3 + 1=4$。
所以：
(1) $P_1$，$P_2$，$P_3$；
(2) 点$P$的坐标为$(\sqrt{3},0)$或$(-3\sqrt{3},4)$。