《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图1-1,抛物线$y_{1}=x^{2}+2x-3$与抛物线$y_{2}=ax^{2}+bx+c$组成一个开口向上的"月牙线",抛物线$y_{1}$和抛物线$y_{2}$与x轴有着相同的交点A,B(点B在点A的右侧),与y轴的交点分别为C,D,连结BD.若$BD=CD$,则抛物线$y_{2}$的函数表达式为_____$y_{2}=\frac{4}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x-\frac{4}{3}$.

答案： 解：令$x^{2}+2x - 3 = 0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$，
∴点$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
当$x = 0$时，$y_{1}=0 + 0 - 3=-3$，
∴点$C(0,-3)$。
当$x = 0$时，$y_{2}=c$，
∴点$D(0,c)$，则$CD = |c - (-3)| = |c + 3|$。
在$Rt\triangle BDO$中，$BD=\sqrt{OD^{2}+OB^{2}}=\sqrt{c^{2}+1^{2}}=\sqrt{c^{2}+1}$。
∵$BD = CD$，
∴$\sqrt{c^{2}+1}=|c + 3|$。
∵抛物线$y_{1}$和$y_{2}$组成开口向上的“月牙线”，且$y_{1}$开口向上，结合图形可知$y_{2}$开口向上，点$D$在点$C$上方，$c ＞ - 3$，
∴$\sqrt{c^{2}+1}=c + 3$，
两边平方得$c^{2}+1=(c + 3)^{2}$，
$c^{2}+1=c^{2}+6c + 9$，
$6c=-8$，
解得$c=-\frac{4}{3}$，
∴点$D(0,-\frac{4}{3})$。
设抛物线$y_{2}=a(x + 3)(x - 1)$，
把$D(0,-\frac{4}{3})$代入得$a(0 + 3)(0 - 1)=-\frac{4}{3}$，
$-3a=-\frac{4}{3}$，
解得$a=\frac{4}{9}$。
∴$y_{2}=\frac{4}{9}(x + 3)(x - 1)=\frac{4}{9}(x^{2}-x + 3x - 3)=\frac{4}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x-\frac{4}{3}$。
答案：$y_{2}=\frac{4}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x-\frac{4}{3}$