《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

23.(10分)如图①,$C,D 是半圆 ACB $上的两点,点$ O $为圆心,$P 是直径 AB $上一点,且满足$\angle APC= \angle BPD$,则称$\angle CPD 是\widehat{CD}$的"相望角".

(1)如图②,若弦$ CE\perp AB$,$D 是弧 BC $上的一点,连结$ DE 交 AB 于点 P$,连结$ CP$.求证:$\angle CPD 是\widehat{CD}$的"相望角".
(2)如图③,若直径$ AB= 6$,弦$ CE\perp AB$,$\widehat{CD}$的"相望角"为$90^\circ$,求$ CD $的长.

答案： $(1)$ 证明$\angle CPD$是$\widehat{CD}$的“相望角”
解：
因为弦$CE\perp AB$，$AB$是直径，根据垂径定理可知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$。
根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，所以$\angle CDE=\angle CPE$。
又因为$\angle CPE + \angle APC = 180^{\circ}$，$\angle BPD+\angle DPE = 180^{\circ}$，且$\angle CDE=\angle DPE$（对顶角相等），所以$\angle APC=\angle BPD$。
根据“相望角”的定义，可得$\angle CPD$是$\widehat{CD}$的“相望角”。
$(2)$ 求$CD$的长
解：
连接$OC$，$OD$。
因为$\angle CPD = 90^{\circ}$，$\angle APC=\angle BPD$，所以$\angle APC=\angle BPD = 45^{\circ}$。
因为弦$CE\perp AB$，$AB$是直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，由$\angle APC = 45^{\circ}$，可得$\angle ACE = 45^{\circ}$，那么$\angle AOC=2\angle ACE = 90^{\circ}$（圆周角定理：圆心角是圆周角的$2$倍）。
因为$\angle APC=\angle BPD$，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$（相等的圆周角所对的弧相等），则$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，又因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，所以$\angle BOD=\angle AOC = 90^{\circ}$。
已知$AB = 6$，则$OC = OD=\frac{AB}{2}=3$。
在$Rt\triangle COD$中，根据勾股定理$CD=\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}$，将$OC = OD = 3$代入可得：
$CD=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9 + 9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
综上，$(1)$ 得证；$(2)$$\boldsymbol{CD = 3\sqrt{2}}$ 。

24.(12分)如图,在圆内接四边形$ ABCD $中,$AD＜AC$,$\angle ADC＜\angle BAD$,延长$ AD 至点 E$,使$ AE= AC$,延长$ BA 至点 F$,连结$ EF$,使$\angle AFE= \angle ADC$.
(1)若$\angle AFE= 60^\circ$,$CD $为直径,求$\angle ABD $的度数.
(2)求证:①$EF// BC$. ②$EF= BD$.

答案：

(1)
∵CD为直径，
∴∠CAD = 90°。
∵∠AFE = ∠ADC = 60°，
∴∠ACD = 90° - 60° = 30°，
∴∠ABD = ∠ACD = 30°。
(2)①如解图，延长AB至点M。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM = ∠ADC。
∵∠AFE = ∠ADC，
∴∠AFE = ∠CBM，
∴EF//BC。 ②如解图，过点D作DG//BC交圆于点G，连结AG，CG，则EF//DG。
∵DG//BC，
∴弧BD = 弧CG，
∴BD = CG。
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE = ∠ACG。
∵EF//DG，
∴∠DEF = ∠GDE，
∴∠DEF = ∠ACG。
∵∠AFE = ∠ADC，∠ADC = ∠AGC，
∴∠AFE = ∠AGC。
∵AE = AC，
∴△AEF≌△ACG(AAS)，
∴EF = CG，
∴EF = BD。