《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

1. 已知二次函数$y= x^2-4x+2$,关于该函数在$-1\leq x\leq3$的取值范围内,下列说法正确的是(D)
A.有最大值-1,有最小值-2
B.有最大值 0,有最小值-1
C.有最大值 7,有最小值-1
D.有最大值 7,有最小值-2

答案： D

2. 用长 30 cm 的一根绳子,围成一个矩形,当矩形的一边长为x(cm)时,它的面积S不可能为(D)
A.$50cm^2$
B.$40.5cm^2$
C.$56.25cm^2$
D.$67.5cm^2$

答案： D

3. 已知二次函数$y= -x^2+4x+c$,当$x\leq1$时,函数的最大值为 1,则c的值为-2.

答案： -2

4. 如图,矩形 ABCD 的周长为 18,其中 E,F,G,H 为矩形 ABCD 的各边中点,则四边形 EFGH 的面积最大为$\frac{81}{8}$.

答案： $\frac{81}{8}$

5. 如图,抛物线$y= ax^2+bx-3(a\neq0)$与x轴相交于点$A(-1,0),B(3,0)$,与y轴相交于点 C.
(1)求该抛物线的函数表达式.

(2)P 是第四象限内抛物线上的一个动点,求$\triangle BPC$面积S的最大值及此时点P的坐标.

答案： 1. （1）求抛物线的函数表达式：
已知抛物线$y = ax^{2}+bx - 3(a\neq0)$与$x$轴相交于点$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
把$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y = ax^{2}+bx - 3$中，得到方程组$\begin{cases}a - b-3 = 0\\9a + 3b-3 = 0\end{cases}$。
由$a - b-3 = 0$可得$a=b + 3$。
将$a=b + 3$代入$9a + 3b-3 = 0$中：
$9(b + 3)+3b-3 = 0$。
展开括号得$9b+27 + 3b-3 = 0$。
合并同类项得$12b+24 = 0$。
移项得$12b=-24$，解得$b=-2$。
把$b = - 2$代入$a=b + 3$，得$a=-2 + 3=1$。
所以抛物线的函数表达式为$y=x^{2}-2x - 3$。
2. （2）求$\triangle BPC$面积$S$的最大值及此时点$P$的坐标：
首先求$C$点坐标，当$x = 0$时，$y=-3$，所以$C(0,-3)$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx + c$，把$B(3,0)$，$C(0,-3)$代入$y=kx + c$中，得$\begin{cases}3k + c=0\\c=-3\end{cases}$。
把$c=-3$代入$3k + c=0$，得$3k-3 = 0$，解得$k = 1$。
所以直线$BC$的解析式为$y=x - 3$。
设$P(m,m^{2}-2m - 3)(0\lt m\lt3)$，过点$P$作$PD\perp x$轴交$BC$于点$D$，则$D(m,m - 3)$。
所以$PD=(m - 3)-(m^{2}-2m - 3)$。
展开得$PD=m - 3-m^{2}+2m + 3=-m^{2}+3m$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle BPC}=S_{\triangle PDC}+S_{\triangle PDB}$，$S=\frac{1}{2}PD\cdot x_{B}$（因为$x_{B}-0 = 3$）。
所以$S=\frac{1}{2}×3×(-m^{2}+3m)$。
即$S=-\frac{3}{2}m^{2}+\frac{9}{2}m$。
对于二次函数$S=-\frac{3}{2}m^{2}+\frac{9}{2}m$，其中$a =-\frac{3}{2}$，$b=\frac{9}{2}$。
根据二次函数顶点坐标公式$m=-\frac{b}{2a}$，$m =-\frac{\frac{9}{2}}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{3}{2}$。
当$m=\frac{3}{2}$时，$S_{max}=-\frac{3}{2}×(\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{2}×\frac{3}{2}$。
$S_{max}=-\frac{3}{2}×\frac{9}{4}+\frac{27}{4}=\frac{-27 + 54}{8}=\frac{27}{8}$。
当$m=\frac{3}{2}$时，$y=(\frac{3}{2})^{2}-2×\frac{3}{2}-3=\frac{9}{4}-3 - 3=\frac{9 - 12 - 12}{4}=-\frac{15}{4}$。
所以$P(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$。
综上，（1）抛物线的函数表达式为$y=x^{2}-2x - 3$；（2）$\triangle BPC$面积$S$的最大值为$\frac{27}{8}$，此时点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$。

6. 九(1)班举办了明信片设计活动,小明挑选了他最喜欢的一个图片制作了一张如图所示的矩形明信片,已知该明信片的宽为x(cm),长为 40 cm,左侧图片的长比宽多 4 cm. 若$14\leq x\leq16$,求右侧留言部分的最大面积.

答案： $320\ \text{cm}^{2}$.