《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

8. 如图,在⊙O 中,$\widehat{AC}$= $\widehat{CB}$,CD⊥OA 于点D,CE⊥OB 于点E.求证:AD= BE.

答案： 【解析】：本题主要考查圆的性质以及全等三角形的判定。需要证明$AD=BE$，可以通过证明$OD=OE$，再结合已知的$OA = OB$，利用线段的性质来证明。而证明$OD=OE$，可以利用到角平分线的性质（因为$\widehat{AC}=\widehat{CB}$，所以$OC$平分$\angle AOB$）以及直角三角形全等的判定。
证明：
连接$OC$。
因为$\widehat{AC}=\widehat{CB}$，根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，所以$\angle AOC = \angle BOC$，即$OC$平分$\angle AOB$。
又因为$CD\perp OA$，$CE\perp OB$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$CD = CE$。
在$Rt\triangle OCD$和$Rt\triangle OCE$中，
$\begin{cases}OC = OC,\\CD = CE.\end{cases}$
根据“斜边直角边”（$HL$）定理，可得$Rt\triangle OCD\cong Rt\triangle OCE$。
所以$OD = OE$。
又因为$OA = OB$（同圆的半径相等），
所以$OA - OD = OB - OE$，即$AD = BE$。
【答案】：证明：连接$OC$。
$\because \widehat{AC}=\widehat{CB}$，
$\therefore \angle AOC = \angle BOC$（在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等），即$OC$平分$\angle AOB$。
$\because CD\perp OA$，$CE\perp OB$，
$\therefore CD = CE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt\triangle OCD$和$Rt\triangle OCE$中，
$\begin{cases}OC = OC,\\CD = CE.\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle OCD\cong Rt\triangle OCE(HL)$。
$\therefore OD = OE$。
又$\because OA = OB$（同圆的半径相等），
$\therefore OA - OD = OB - OE$，
$\therefore AD = BE$。

9. 如图,AB 为⊙O 的直径,C 是$\widehat{BE}$的中点,过点C 作CD⊥AB 于点G,交⊙O 于点D.若BE= 8,BG= 2,则⊙O 的半径为(A)
A.5
B.6.5
C.7.5
D.8

答案： A

10. 如图,在⊙O 中,$\widehat{AB}$= 2$\widehat{BC}$且BD⊥OC,垂足为D.若AB= 8,CD= 2,则⊙O 的半径为5.

答案： 5

11. 如图,在半径为5的⊙A 中,弦BC,ED 所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD.若DE= 6,∠BAC+∠DAE= 180°,求弦BC的长.

答案： 8.

12. 已知张庄、李庄分别位于直径为300 m的半圆上的三等分点的位置,现要在河边(半圆所对的直径所在的直线)修建水泵站,分别向两个村庄供水,则至少需要多少米水管?

答案：
如解图,设点M为张庄，点N为李庄，直径AB为河边，过点N作$NC \perp$AB于点C,延长NC交$\odot O$于点D,连结MD交AB于点$O'$,连结OM,ON,OD.
$\because$AB为直径,$ND \perp AB$,$\therefore NC=CD$,$\widehat{NB}=\widehat{BD}$,$\therefore$点D为点N关于AB的对称点,$\therefore$MD与AB的交点$O'$即为建水泵站的位置.
$\because$点M,N为半圆的三等分点,$\therefore \widehat{AM}=\widehat{MN}=\widehat{NB}$,$\therefore \angle MON=\angle NOB=\frac{1}{3}× 180^{\circ}=60^{\circ}$.
$\because \widehat{NB}=\widehat{BD}$,$\therefore \angle BOD=\angle NOB=60^{\circ}$,$\therefore \angle MOD=180^{\circ}$,即$\widehat{DBM}$为半圆,$\therefore$DM为直径,
$\therefore$DM与AB的交点$O'$与圆心O重合,$\therefore MD=300\ \text{m}$,即至少需要300 m水管.