《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 小明按照以下步骤画线段 AB 的三等分点:
|画法|图形|
|----|----|
|①以点 A 为端点画一条射线；
②用圆规在射线上依次截取 3 条等长的线段 AC,CD,DE,连结 BE；
③过点 C,D 分别画 BE 的平行线,交线段 AB 于点 M,N,则 M,N 就是线段 AB 的三等分点.||
在上述步骤中,应用的数学依据是 （D）
A.两直线平行,同位角相等
B.两条平行线之间的距离处处相等
C.垂直于同一条直线的两条直线平行
D.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例

答案： 【解析】：
本题可根据平行线分线段成比例定理来分析小明画线段$AB$三等分点的画法依据。
步骤一：明确平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理是指三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
步骤二：分析画图过程
在小明的画图步骤中，过点$C$，$D$分别画$BE$的平行线，交线段$AB$于点$M$，$N$，此时$CM// DN// EB$。
因为$CM// DN// EB$，根据平行线分线段成比例定理可知，$\frac{AC}{CD}=\frac{AM}{MN}$，$\frac{CD}{DE}=\frac{MN}{NB}$。
又因为$AC = CD = DE$，所以$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{DE}=1$，进而可得$\frac{AM}{MN}=\frac{MN}{NB}=1$，即$AM = MN = NB$。
所以这一画图过程应用的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
【答案】：D