《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

变式4-1 如图1-7,甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,甲在点O正上方的A处发出一球,以点O为原点建立平面直角坐标系,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式$y=-\frac {1}{5}(x-4)^{2}+\frac {21}{5}$,球网BC离点O的水平距离为5m,甲运动员发球过网后,乙运动员在球场上$N(n,0)$处接球,乙原地起跳可接球的高度为2.4m,若乙因接球高度不够而失球,则n的取值范围是$5 ＜ n ＜ 7$.

答案： $5 ＜ n ＜ 7$

变式4-2 如图1-8①,有两面互相垂直且长度均为10m的墙,现要建一个矩形花圃ABCD,矩形两边由墙围成,另两边和中间隔离带用篱笆围成,篱笆总长24m,隔离带EF,GH均与接触的墙垂直.
(1)若矩形花圃ABCD的面积为$32m^{2}$,求AB的长.
(2)求能围成的矩形花圃ABCD的最大面积.
(3)因种植需要,仍利用24m的篱笆将花圃重建成如图1-8②所示的矩形花圃,求能围成的矩形花圃ABCD的最大面积.

答案： 1. （1）
设$AB = xm$，则$BC=(24 - 3x)m$。
根据矩形面积公式$S = AB× BC$，已知$S = 32m^{2}$，可得方程$x(24 - 3x)=32$。
化简方程：
展开得$24x-3x^{2}=32$，移项化为标准的一元二次方程形式$3x^{2}-24x + 32 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 3,b=-24,c = 32)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-24)^{2}-4×3×32=576 - 384 = 192$。
则$x=\frac{24\pm\sqrt{192}}{6}=\frac{24\pm8\sqrt{3}}{6}=4\pm\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
又因为$\begin{cases}x\gt0\\24 - 3x\gt0\\24 - 3x\leq10\end{cases}$，解$24 - 3x\gt0$得$x\lt8$，解$24 - 3x\leq10$得$3x\geq14$，$x\geq\frac{14}{3}$。
$x = 4+\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx4 + 2.31=6.31$，$x = 4-\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx4 - 2.31 = 1.69\lt\frac{14}{3}\approx4.67$（舍去）。
所以$AB$的长为$(4+\frac{4\sqrt{3}}{3})m$。
2. （2）
设矩形花圃$ABCD$的面积为$y m^{2}$，$AB = xm$，则$BC=(24 - 3x)m$。
$y=x(24 - 3x)=-3x^{2}+24x$，其中$a=-3$，$b = 24$，$c = 0$。
根据二次函数顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$x=-\frac{24}{2×(-3)} = 4$。
把$x = 4$代入$y=-3x^{2}+24x$得$y=-3×4^{2}+24×4=-48 + 96 = 48$。
又因为$\begin{cases}x\gt0\\24 - 3x\gt0\\24 - 3x\leq10\end{cases}$，解$24 - 3x\gt0$得$x\lt8$，解$24 - 3x\leq10$得$x\geq\frac{14}{3}$。
当$x = 4$时，$24-3x=24 - 12 = 12\gt10$（不符合题意）。
因为$y=-3x^{2}+24x=-3(x - 4)^{2}+48$，函数图象开口向下，在$x\geq\frac{14}{3}$上单调递减。
当$x=\frac{14}{3}$时，$y=-3×(\frac{14}{3})^{2}+24×\frac{14}{3}=-3×\frac{196}{9}+\frac{336}{3}=-\frac{196}{3}+112=\frac{-196 + 336}{3}=\frac{140}{3}\approx46.67$。
所以矩形花圃$ABCD$的最大面积是$\frac{140}{3}m^{2}$。
3. （3）
设$AB = xm$，则$BC=(24 - 2x)m$。
矩形面积$S=x(24 - 2x)=-2x^{2}+24x$，其中$a=-2$，$b = 24$，$c = 0$。
根据二次函数顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-2)} = 6$。
又因为$\begin{cases}x\gt0\\24 - 2x\gt0\\24 - 2x\leq10\end{cases}$，解$24 - 2x\gt0$得$x\lt12$，解$24 - 2x\leq10$得$2x\geq14$，$x\geq7$。
因为$S=-2x^{2}+24x=-2(x - 6)^{2}+72$，函数图象开口向下，在$x\geq7$上单调递减。
当$x = 7$时，$S=-2×7^{2}+24×7=-98 + 168 = 70$。
综上，（1）$AB$的长为$(4+\frac{4\sqrt{3}}{3})m$；（2）最大面积是$\frac{140}{3}m^{2}$；（3）最大面积是$70m^{2}$。

易错点① 概念不清致错
典例1 当m的值为-1时,函数$y=(m^{2}-3m)x^{m^{2}-2m-1}+(m-3)x+m^{2}$是关于x的二次函数.
析错______________________________

答案： -1

易错点② 忽视分类讨论致错
典例2 若函数$y=(a-1)x^{2}-4x+2a$的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为-1或2或1.
析错______________________________

答案： -1或2或1

易错点③ 移动规律不清致错
典例3 把抛物线$y=2x^{2}-4x+3$向左平移1个单位,得到的抛物线的函数表达式为$y=2x^{2}+1$.
析错______________________________

答案： $y=2x^{2}+1$