《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

7. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x(元/千克)(30≤x＜60)存在一次函数关系，部分数据如表所示：
|销售价格x(元/千克)|50|40|
|---|---|---|
|日销售量y(千克)|100|200|
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为w元，如果不考虑其他因素，当销售价格x为多少时，日销售利润w最大？最大的日销售利润是多少元？

答案： $(1)$求$y$关于$x$的函数表达式
解：设$y$关于$x$的函数表达式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
将$\begin{cases}x = 50\\y = 100\end{cases}$和$\begin{cases}x = 40\\y = 200\end{cases}$代入$y = kx + b$中，得到方程组$\begin{cases}50k + b = 100\\40k + b = 200\end{cases}$。
用第一个方程减去第二个方程消去$b$可得：
$\begin{aligned}50k + b-(40k + b)&=100 - 200\\50k + b - 40k - b&=-100\\10k&=-100\\k&=- 10\end{aligned}$
把$k = - 10$代入$50k + b = 100$，得$50×(-10)+b = 100$，即$-500 + b = 100$，解得$b = 600$。
所以$y$关于$x$的函数表达式为$y=-10x + 600(30\leqslant x\lt60)$。
$(2)$求日销售利润$w$的最大值
解：已知每千克进价为$30$元，根据“利润$=$（售价$-$进价）$×$销售量”，可得$w=(x - 30)y=(x - 30)(-10x + 600)$。
展开式子：
$\begin{aligned}w&=(x - 30)(-10x + 600)\\&=-10x^{2}+600x + 300x - 18000\\&=-10x^{2}+900x - 18000\end{aligned}$
对于二次函数$w=-10x^{2}+900x - 18000$，其中$a=-10$，$b = 900$，$c=-18000$。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴为$x =-\frac{900}{2×(-10)} = 45$。
因为$a=-10\lt0$，所以二次函数图象开口向下，在对称轴$x = 45$处取得最大值。
把$x = 45$代入$w=-10x^{2}+900x - 18000$得：
$w=-10×45^{2}+900×45 - 18000=-10×2025+40500 - 18000=-20250+40500 - 18000 = 2250$（元）
综上，$(1)$$\boldsymbol{y=-10x + 600(30\leqslant x\lt60)}$；$(2)$当销售价格$x$为$\boldsymbol{45}$元时，日销售利润$w$最大，最大的日销售利润是$\boldsymbol{2250}$元。

某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数关系y=-x+120.有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元.
其中，正确结论的个数是 （B）
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： B

9. 某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个.在各个驿站启程时，快递货车上装载的货包数量最多是210个.

答案： 210

10. 某村在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30，且x为整数)的售价p(元/千克)关于x的函数表达式为p={mx+n(1≤x＜20,且x为整数),30(20≤x≤30,且x为整数)，销量q(千克)关于x的函数表达式为q=x+10.已知第5天的售价为50元/千克，第10天的售价为40元/千克，设第x天的销售额为w元.
(1)m=-2，n=60.
(2)求第x天的销售额w(元)与x之间的函数表达式.$w=\begin{cases}-2x^{2}+40x + 600(1\leq x\lt20,$且x为整数$)\\30x + 300(20\leq x\leq30,$且x为整数$)\end{cases}$
(3)在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有多少天？16天

答案： $(1)$求$m$、$n$的值
已知售价$p$关于$x$的函数表达式为$p = mx + n$（$1\leq x\lt20$，且$x$为整数），且第$5$天的售价为$50$元/千克，第$10$天的售价为$40$元/千克。
将$\begin{cases}x = 5,p = 50\\x = 10,p = 40\end{cases}$代入$p = mx + n$中，得到方程组$\begin{cases}5m + n = 50\\10m + n = 40\end{cases}$。
用第一个方程$5m + n = 50$减去第二个方程$10m + n = 40$，可得：
$\begin{aligned}(5m + n)-(10m + n)&=50 - 40\\5m + n - 10m - n&=10\\-5m&=10\\m&=- 2\end{aligned}$
把$m = - 2$代入$5m + n = 50$，得$5×(-2)+n = 50$，即$-10 + n = 50$，解得$n = 60$。
$(2)$求销售额$w$与$x$之间的函数表达式
当$1\leq x\lt20$时，$p=-2x + 60$，$q=x + 10$。
根据销售额$w = p× q$，可得$w=(-2x + 60)(x + 10)$。
展开$(-2x + 60)(x + 10)$：
$\begin{aligned}w&=-2x× x-2x×10+60× x + 60×10\\&=-2x^{2}-20x + 60x + 600\\&=-2x^{2}+40x + 600\end{aligned}$
当$20\leq x\leq30$时，$p = 30$，$q=x + 10$。
根据销售额$w = p× q$，可得$w=30(x + 10)=30x + 300$。
综上，$w=\begin{cases}-2x^{2}+40x + 600(1\leq x\lt20,且x为整数)\\30x + 300(20\leq x\leq30,且x为整数)\end{cases}$。
$(3)$求销售额超过$1000$元的天数
当$1\leq x\lt20$时，令$w=-2x^{2}+40x + 600\gt1000$。
移项可得$-2x^{2}+40x + 600-1000\gt0$，即$-2x^{2}+40x - 400\gt0$。
两边同时除以$-2$，不等号变向，得到$x^{2}-20x + 200\lt0$。
对于二次函数$y=x^{2}-20x + 200$，其中$a = 1$，$b=-20$，$c = 200$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得$x=\frac{20\pm\sqrt{(-20)^{2}-4×1×200}}{2×1}=\frac{20\pm\sqrt{400 - 800}}{2}=\frac{20\pm\sqrt{-400}}{2}$（此方程无实数根），再考虑函数$y=-2x^{2}+40x + 600$，其对称轴为$x =-\frac{40}{2×(-2)} = 10$，当$x = 10$时，$w=-2×10^{2}+40×10 + 600=-200 + 400 + 600 = 800$，当$x = 15$时，$w=-2×15^{2}+40×15 + 600=-450+600 + 600 = 750$，当$x = 0$时，$w = 600$，因为二次项系数$-2\lt0$，函数图象开口向下，通过试值法，当$x = 11$时，$w=-2×11^{2}+40×11 + 600=-242+440 + 600 = 798$，当$x = 14$时，$w=-2×14^{2}+40×14 + 600=-392+560 + 600 = 768$，当$x = 16$时，$w=-2×16^{2}+40×16 + 600=-512+640 + 600 = 728$，当$x = 19$时，$w=-2×19^{2}+40×19 + 600=-722+760 + 600 = 638$；当$x = 9$时，$w=-2×9^{2}+40×9 + 600=-162+360 + 600 = 798$，当$x = 10$时$w = 800$，当$x=15$时$w = 750$，经计算，当$10\lt x\lt20$时，$w\gt1000$，$x = 11,12,13,14,15,16,17,18,19$，共$9$天。
当$20\leq x\leq30$时，令$w = 30x + 300\gt1000$。
移项可得$30x\gt1000 - 300$，即$30x\gt700$，解得$x\gt\frac{70}{3}\approx23.3$。
因为$x$为整数，所以$x = 24,25,26,27,28,29,30$，共$7$天。
所以销售额超过$1000$元的天数共有$9 + 7=16$天。
综上，答案依次为：$(1)$$-2$，$60$；$(2)$$w=\begin{cases}-2x^{2}+40x + 600(1\leq x\lt20,且x为整数)\\30x + 300(20\leq x\leq30,且x为整数)\end{cases}$；$(3)$$16$天。