《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

12. 如图,四边形 ABCD 内接于$\odot O$,AB,DC的延长线交于点 F,AD,BC 的延长线交于点 G. 若$∠F= 30^{\circ },∠G= 50^{\circ }$,求$∠A$的度数.

答案： 50°.

13. 定义:有且仅有一组对角相等凸四边形叫做"对对角四边形".例如:凸四边形ABCD中,$∠A= ∠C$,则称四边形 ABCD为"对对角四边形".

(1)如图①,A,P,B,C$\odot O$上四个点,$∠APC= ∠BPC= 60^{\circ }$,延长 BP 至点Q,$PQ= AP$,连结 AQ. 求证:四边形AQBC是"等对角四边形".(2)如图②,"等对角四边形"ABCD 内接于$\odot O,AB≠AD,BC= DC.$①请判断四边形 ABCD 中哪一组对角相等,并说明理由；②若$\odot O$半径为5,$AB= 6$,求 BC,AD的长；③在②条件下,请直接写出 AC长.

答案：
（1）
∵∠APC=∠BPC=60°，
∴∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∠BAC=60°，
∴∠APQ=180°-∠APB=180°-120°=60°.
∵PQ=AP，
∴△APQ 是等边三角形，
∴∠Q=∠APQ=∠QAP=60°.
∵四边形 APBC 是圆内接四边形，
∴∠APB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=60°，
∴∠Q=∠ACB.
∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC=360°，
∴∠QAC+∠QBC=240°.
∵∠QAC=∠QAP+∠BAC+∠PAB=120°+∠PAB＞120°，
∴∠QBC＜120°，
∴∠QAC≠∠QBC，
∴四边形 AQBC 是“等对角四边形”. （2）①∠BAD=∠BCD. 理由如下：如解图，连结 AC，BD.
∵AB≠AD，BC=DC，
∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD=∠CDB，
∴∠ABC≠∠ADC. 又
∵四边形 ABCD 是“等对角四边形”，
∴∠BAD=∠BCD. ②
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴BD 是直径.
∵⊙O 的半径为 5，
∴BD=10，
∴BC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$5\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$. ③如解图，将△CBA 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°得到△CDH，
∴DH=AB=6，AC=CH，∠ACH=90°，∠ABC=∠HDC.
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠HDC+∠ADC=180°，
∴A，D，H 三点共线，
∴AH=AD+DH=14.
∵AC²+CH²=AH²，AC=CH，
∴2AC²=14²，
∴AC=$7\sqrt{2}$.