《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 已知二次函数$y=ax^{2}+2ax+3a^{2}+3$（其中x是自变量），当$x\geq2$时，y随x的增大而增大，且当$-2\leq x\leq1$时，y的最大值为9，则a的值为 （D）
A.1或-2
B.$-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.1
 

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的最值问题以及对称轴的性质。
首先，根据二次函数的性质，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，
对于给定的函数$y=ax^{2}+2ax+3a^{2}+3$，其对称轴为$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
接着，根据题意，当$x\geq2$时，y随x的增大而增大，这说明函数在此区间是增函数，因此$a＞0$。
再考虑当$-2\leq x\leq1$时，y的最大值为9，由于-2到-1的距离比1到-1的距离小，且函数开口向上（因为$a＞0$），
所以当$x=1$时，y取得最大值。
将$x=1$代入原函数，得到$y_{最大值}=a+2a+3a^{2}+3=9$，
解这个方程，得到$3a^{2}+3a-6=0$，
进一步解得$a_{1}=1$，$a_{2}=-2$。
由于$a＞0$，所以$a_{2}=-2$不合题意，舍去。
因此，a的值为1。
【答案】：
D

变式1 已知当$-1\leq x\leq2$时，二次函数$y=x^{2}+2kx+1$的最小值是-1，则k的值为$\frac{3}{2}$或$-\sqrt{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$或$-\sqrt{2}$

例2 某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，那么每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元.
（1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价.
（2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是多少元.
 

答案： （1）解：由题意，得$(200 - 2x)(60 - 40 + x) = 7000$，且$60 + x \leq 105$，即$x \leq 45$，
整理方程得：$(200 - 2x)(20 + x) = 7000$，
展开得：$4000 + 200x - 40x - 2x^2 = 7000$，
化简得：$-2x^2 + 160x - 3000 = 0$，
两边同时除以$-2$得：$x^2 - 80x + 1500 = 0$，
因式分解得：$(x - 30)(x - 50) = 0$，
解得$x_1 = 30$，$x_2 = 50$（因为$50 ＞ 45$，不合题意，舍去），
所以每件衬衫的售价为$60 + 30 = 90$（元）。
（2）解：由题意，得$y = (200 - 2x)(60 - 40 + x)$，
化简得：$y = (200 - 2x)(20 + x) = -2x^2 + 160x + 4000$，
配方得：$y = -2(x^2 - 80x) + 4000 = -2(x - 40)^2 + 7200$，
因为$-2 ＜ 0$，抛物线开口向下，且$x \leq 45$，
所以当$x = 40$时，$y$有最大值，最大值为$7200$，
此时每件衬衫的售价为$60 + 40 = 100$（元）。
答：（1）每件衬衫的售价为90元；（2）每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是7200元。

变式2 随着科技的发展，如图①所示的扫地机器人已经应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器人，统计该产品2024年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2024年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y元，y与x之间的函数关系如图②所示（图中A—B—C为折线）.
（1）当$1\leq x\leq10$时，求每台的销售价格y与x之间的函数表达式.
（2）设该产品2024年第x个月的销售数量为m（万台），m与x之间的关系可以用$m=\frac{1}{10}x+1$来描述，那么2024年哪个月的销售收入最多？最多为多少万元？（销售收入=每台的销售价格×销售数量）

答案： （1）$y=-150x+3000(1\leqslant x\leqslant 10)$．
（2）2024 年第 5 个月的销售收入最多，最多为 3375 万元．