《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

6. 如图,把等边三角形ABC沿DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC.若BP= 4 cm,则PC的长为(C)
A.8 cm
B.(4+3$\sqrt{3}$)cm
C.(4+4$\sqrt{3}$)cm
D.10 cm

答案： C

7. 综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动,有一名同学操作过程如下:
操作一:对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;
操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在正方形内部点M处,把纸片展平,连结PM,BM,延长PM交CD于点Q,连结BQ.

(1)如图①,当点M在EF上时,∠EMB的度数为30°.
(2)如图②,改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.
解：∠MBQ=∠CBQ。
理由如下：
因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC，∠A=∠C=90°。
由折叠可知AB=BM，∠A=∠BMP=90°，所以BM=BC，∠BMQ=∠C=90°。
在Rt△BMQ和Rt△BCQ中，$\left\{\begin{array}{l}BQ=BQ\\BM=BC\end{array}\right.$。
根据HL（斜边-直角边）定理，可得Rt△BMQ≌Rt△BCQ。
根据全等三角形的性质，所以∠MBQ=∠CBQ。

答案： 1. （1）
因为四边形$ABCD$是正方形，对折正方形纸片$ABCD$，使$AD$与$BC$重合，得到折痕$EF$，所以$EF$垂直平分$AB$，$AB = BC$，$\angle ABC=90^{\circ}$。
由折叠可知$AB = BM$，所以$BM = AB = 2BE$。
在$Rt\triangle BEM$中，根据直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30^{\circ}$，因为$\sin\angle EMB=\frac{BE}{BM}$，$BM = 2BE$，所以$\sin\angle EMB=\frac{1}{2}$。
又因为$0^{\circ}\lt\angle EMB\lt90^{\circ}$，所以$\angle EMB = 30^{\circ}$。
2. （2）
解：$\angle MBQ=\angle CBQ$。
理由如下：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC$，$\angle A=\angle C = 90^{\circ}$。
由折叠可知$AB = BM$，$\angle A=\angle BMP = 90^{\circ}$，所以$BM = BC$，$\angle BMQ=\angle C = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BMQ$和$Rt\triangle BCQ$中，$\left\{\begin{array}{l}BQ = BQ\\BM = BC\end{array}\right.$。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可得$Rt\triangle BMQ\cong Rt\triangle BCQ$。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，所以$\angle MBQ=\angle CBQ$。
综上，答案依次为：（1）$30^{\circ}$；（2）$\angle MBQ=\angle CBQ$。

8. 如图,正方形纸片ABCD沿EF折叠,点A与点H,点B与点G分别是对应点,HG交AD于点K.求证:AK+CG= GK.

答案：
如解图,在 GK 上截取$GM=GC$,连结 BG,BM,BK.
∵四边形 ABCD 为正方形,$\therefore AB=BC$,$\angle A=\angle C=\angle ABC=90^{\circ}$.由折叠の性质可知,$GF=BF$,$\angle KGF=\angle ABF=90^{\circ}$,$\therefore \angle FBG=\angle FGB$.$\because \angle BGC=90^{\circ}-\angle FBG$,$\angle BGM=90^{\circ}-\angle FGB$,$\therefore \angle BGC=\angle BGM$.在$\triangle BMG$和$\triangle BCG$中,
$\because \left\{\begin{array}{l} GM=GC,\\ \angle BGM=\angle BGC,\\ BG=BG,\end{array}\right. $$\therefore \triangle BMG\cong \triangle BCG(SAS)$,$\therefore BM=BC$,$\angle BMG=\angle C=90^{\circ}$,$\therefore BA=BM$.又$\because BK=BK$,$\therefore Rt\triangle ABK\cong Rt\triangle MBK (HL)$,$\therefore AK=MK$.又$\because CG=MG$,$\therefore AK+CG=MK+MG=GK$.