《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图3-7-1,在正六边形ABCDEF中,AB=2,P是ED的中点,连结AP,求AP的长.

 

答案： 解：如解图，连结AE，过点F作FH⊥AE于点H。
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=2，∠AFE=∠DEF=120°，
∴∠FAE=∠FEA=30°，
∴∠AEP=90°。
又
∵FH⊥AE，
∴FH=1，AH=$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$。
∵P是ED的中点，
∴EP=1，
∴在Rt△AEP中，AP=$\sqrt{AE^{2}+EP^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$，
∴AP的长为$\sqrt{13}$。

例2 如图3-7-2,正方形ABCD内接于$\odot O$,$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$,求证:BM=CM.

 

答案： 【解析】：本题主要考查正多边形与圆的关系，以及弧与弦的关系。
首先，根据题目条件，四边形$ABCD$是正方形，因此其对边相等，即$AB=CD$。
由于$ABCD$是正方形，根据正方形的性质，其四条边对应的弧在圆上也是相等的，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
题目又给出$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，这是圆上另外两条弧的相等关系。
由于$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$和$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，可以将两式相加，得到$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$。
根据弧的加法性质，上式可以化简为$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
最后，根据弧与弦的关系，若在圆中两条弧相等，则它们所对应的弦也相等。因此，由$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，可以得出$BM=CM$。
【答案】：证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=CD$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∵$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，
即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$
∴$BM=CM$。