《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例2 （2024 秋·杭州萧山期末）如图 4-4-9，点 D 在△ABC 的边 BC 上，∠BAD=∠C，∠ABC 的平分线交边 AC 于点 E，交 AD 于点 F，则在下列给出的三角形中，与△BDF 相似的是 （B）

 

A.△BFA
B.△BAE
C.△BEC
D.△AEF

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的判定定理，结合已知条件逐一分析选项。
相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。
分析已知条件：
已知$\angle BAD = \angle C$，$\angle ABC$是公共角，根据三角形内角和定理，可推出$\angle ADB = \angle BAC$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE = \angle CBE$。
逐一分析选项：
选项A：在$\triangle BFA$和$\triangle BDF$中，虽然$\angle ABF$与$\angle DBF$是$\angle ABC$被平分得到的，但仅这一个条件不能判定$\triangle BFA$和$\triangle BDF$相似，因为缺少另一组对应角相等的条件，所以该选项不符合题意。
选项B：在$\triangle BAE$和$\triangle BDF$中，$\angle ABE = \angle DBF$（$BE$平分$\angle ABC$），又因为$\angle BAD = \angle C$，且$\angle BAE$与$\angle BAD$是同一个角，$\angle BDF$与$\angle C$是对顶角与已知角的关系，所以$\angle BAE = \angle BDF$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可以判定$\triangle BAE$和$\triangle BDF$相似，所以该选项符合题意。
选项C：在$\triangle BEC$和$\triangle BDF$中，只有$\angle CBE = \angle DBF$这一个条件，缺少另一组对应角相等的条件，不能判定$\triangle BEC$和$\triangle BDF$相似，所以该选项不符合题意。
选项D：在$\triangle AFE$和$\triangle BDF$中，只有$\angle AFE = \angle BFD$这一个条件，缺少另一组对应角相等的条件，不能判定$\triangle AFE$和$\triangle BDF$相似，所以该选项不符合题意。
【答案】：B

例3 如图 4-4-10，AB 是⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O，$\widehat{CD}=\widehat{DB}$，AB，CD 的延长线相交于点 E，且 DE=AD.
（1）求证：△CAD∽△CEA.
（2）求∠ADC 的度数.

 

答案：
（1）证明：
∵$\widehat{CD}=\widehat{DB}$，
∴∠CAD=∠DAB．
∵DE=AD，
∴∠DAB=∠E，
∴∠CAD=∠E．
又
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CEA．
（2）解：连结BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
设∠CAD=∠DAB=α，则∠CAE=2α．
由（1）知△CAD∽△CEA，
∴∠ADC=∠CAE=2α．
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠CAB+∠CDB=180°．
∵∠CDB=∠CDA+∠ADB=2α+90°，∠CAB=2α，
∴2α+2α+90°=180°，解得α=22.5°，
∴∠ADC=2α=45°．

1. 如图，在纸片△ABC 中，∠A=72°，∠B=38°，将纸片△ABC 沿某条直线剪开. 下列四种方式中，则剪下的三角形与△ABC不相似的是 （D）

答案： D