《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例2 某校九年级社会实践，安排三辆车，编号分别为A,B,C. 小温与小州都可以从这三辆车中任意选择一辆搭乘.
(1)求小温没有搭乘C车的概率.
(2)若小温没有搭乘C车，请用列表或画树状图的方法，求出小温与小州搭乘不同车的概率.
 

答案： 【解析】：
(1)题目考查概率的基本概念，即某一事件发生的可能性大小。小温有三辆车可以选择，其中两辆不是C车，所以小温没有搭乘C车的概率是选择非C车的数量除以总的选择数量。
(2)题目考查通过树状图来列举所有可能的结果，并计算满足特定条件（小温与小州搭乘不同车）的概率。首先，根据小温没有搭乘C车的条件，我们限制了小温的选择为A车或B车。然后，对于小温的每一种选择，小州都有三种选择（A车、B车、C车）。通过树状图，我们可以清晰地列出所有可能的结果，并找出满足条件的结果数量，从而计算出所求的概率。
(1)小温可以选择的车有A，B，C三辆，其中不是C车的有A，B两辆。
所以，小温没有搭乘C车的概率 $P = \frac{\text{非C车的数量}}{\text{总的选择数量}} = \frac{2}{3}$。
(2)根据题意，小温没有搭乘C车，所以小温的选择有A，B两种。
对于小温的每一种选择，小州都有A，B，C三种选择。
通过树状图，我们可以列出所有可能的结果：$(A,A)$，$(A,B)$，$(A,C)$，$(B,A)$，$(B,B)$，$(B,C)$。
其中，小温与小州搭乘不同车的结果有：$(A,B)$，$(A,C)$，$(B,A)$，$(B,C)$，共4种。
所以，小温与小州搭乘不同车的概率 $P = \frac{\text{搭乘不同车的结果数量}}{\text{所有可能的结果数量}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。
【答案】：
(1) $\frac{2}{3}$；
(2) $\frac{2}{3}$。

变式2-1 看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如下表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢. 已知齐王的三匹马的出场顺序为10,8,6. 若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率是$\frac{1}{6}$.
|马匹|下等马|中等马|上等马|
|----|----|----|----|
|齐王|6|8|10|
|田忌|5|7|9|

答案： $\frac{1}{6}$

变式2-2 小王有5件衬衫，其中3件是白衬衫，有4条长裤，其中2条是黑色的，一天晚上灯坏了，他顺手拿了衬衫和长裤穿上出门了，求小王穿白衬衫和黑长裤的概率.

答案： $\frac{3}{10}$.

(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的质量为6 kg的概率是$\frac{2}{5}$.
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的质量之和为15 kg的概率.
设质量为$6kg$的纸箱为$A_1$，$A_2$，质量为$7kg$的纸箱为$B_1$，$B_2$，质量为$8kg$的纸箱为$C$。
列表如下：
| | $A_1$ | $A_2$ | $B_1$ | $B_2$ | $C$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $A_1$ | - | $(A_1,A_2)$ | $(A_1,B_1)$ | $(A_1,B_2)$ | $(A_1,C)$ |
| $A_2$ | $(A_2,A_1)$ | - | $(A_2,B_1)$ | $(A_2,B_2)$ | $(A_2,C)$ |
| $B_1$ | $(B_1,A_1)$ | $(B_1,A_2)$ | - | $(B_1,B_2)$ | $(B_1,C)$ |
| $B_2$ | $(B_2,A_1)$ | $(B_2,A_2)$ | $(B_2,B_1)$ | - | $(B_2,C)$ |
| $C$ | $(C,A_1)$ | $(C,A_2)$ | $(C,B_1)$ | $(C,B_2)$ | - |
从表中可以看出，一共有10种等可能的情况。其中质量之和为15kg的情况有$(A_1,C)$，$(A_2,C)$，$(B_1,B_2)$，$(B_2,B_1)$，共4种。所以所选两个纸箱里西瓜的质量之和为15kg的概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。

答案： 1. （1）
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是总情况数，$m$是事件$A$发生的情况数）。
已知$n = 5$（五个纸箱），$m = 2$（质量为$6kg$的纸箱有$2$个）。
所以所选纸箱里西瓜的质量为$6kg$的概率$P=\frac{2}{5}$。
2. （2）
设质量为$6kg$的纸箱为$A_1$，$A_2$，质量为$7kg$的纸箱为$B_1$，$B_2$，质量为$8kg$的纸箱为$C$。
列表如下：
| | $A_1$ | $A_2$ | $B_1$ | $B_2$ | $C$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $A_1$ | - | $(A_1,A_2)$ | $(A_1,B_1)$ | $(A_1,B_2)$ | $(A_1,C)$ |
| $A_2$ | $(A_2,A_1)$ | - | $(A_2,B_1)$ | $(A_2,B_2)$ | $(A_2,C)$ |
| $B_1$ | $(B_1,A_1)$ | $(B_1,A_2)$ | - | $(B_1,B_2)$ | $(B_1,C)$ |
| $B_2$ | $(B_2,A_1)$ | $(B_2,A_2)$ | $(B_2,B_1)$ | - | $(B_2,C)$ |
| $C$ | $(C,A_1)$ | $(C,A_2)$ | $(C,B_1)$ | $(C,B_2)$ | - |
从表中可以看出，一共有$n = 10$种等可能的情况。
其中质量之和为$15kg$的情况有$(A_1,C)$，$(A_2,C)$，$(B_1,B_2)$，$(B_2,B_1)$，共$m = 4$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得所选两个纸箱里西瓜的质量之和为$15kg$的概率$P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
综上，答案依次为：（1）$\frac{2}{5}$；（2）$\frac{2}{5}$。