《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

**变式4-3** 如图3-13，三角形$ABC$的边长都为$6\ cm$，分别以$A$，$B$，$C$三点为圆心，边长的一半为半径作弧，求阴影部分的周长。

答案： $3\pi\ \text{cm}$.

**例5** 如图3-14，在平面直角坐标系中放置一个边长为$1$的正方形$ABCD$，将正方形$ABCD$沿$x$轴的正方向无滑动地在$x$轴上滚动，当点$A$离开原点后第一次落在$x$轴上时，点$A$运动的路径线与$x$轴围成图形的面积为（C）

A.$\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}$
B.$\frac{\pi}{2} + 1$
C.$\pi + 1$
D.$\pi + \frac{1}{2}$

答案： 解：点A运动路径与x轴围成的面积由三部分扇形和两个三角形组成。
1. 第一个扇形（以B为圆心，AB=1为半径，90°）：$\frac{90\pi×1^2}{360}=\frac{\pi}{4}$；
2. 第二个扇形（以C为圆心，CA=$\sqrt{2}$为半径，90°）：$\frac{90\pi×(\sqrt{2})^2}{360}=\frac{\pi}{2}$；
3. 第三个扇形（以D为圆心，DA=1为半径，90°）：$\frac{90\pi×1^2}{360}=\frac{\pi}{4}$；
4. 两个直角三角形（$\triangle A_1BC$和$\triangle A_2CD$，直角边为1）：$2×(\frac{1}{2}×1×1)=1$。
总面积：$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+1=\pi + 1$。
答案：C

**变式5-1** 如图3-15，$Rt\triangle ABC$的边$BC$位于直线$l$上，$BC = 1$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$。若由现在的位置向右无滑动翻转，当点$A$第3次落在直线$l$上时，点$A$所经过的路线长为______$(4+\sqrt{3})\pi$（结果保留根号和$\pi$）。

答案： $(4+\sqrt{3})\pi$

**变式5-2** 如图3-16，将边长为$a$的正六边形$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$在直线$l$上由图①的位置按顺时针方向向右做无滑动滚动，当点$A_1$第一次滚动到图②的位置时，顶点$A_1$所经过的路径长为（A）
A.$\frac{4 + 2\sqrt{3}}{3}\pi a$
B.$\frac{8 + 4\sqrt{3}}{3}\pi a$
C.$\frac{4 + \sqrt{3}}{3}\pi a$
D.$\frac{2 + \sqrt{3}}{3}\pi a$

答案： A